Máme kruh s vpísaným štvorcom s vpísanou kružnicou s vpísaným rovnostranným trojuholníkom. Priemer vonkajšieho kruhu je 8 stôp. Materiál trojuholníka stojí 104,95 dolárov za štvorcovú stopu. Aké sú náklady na trojuholníkové centrum?

odpoveď:

Náklady na trojuholníkové centrum je 1090,67 dolárov

vysvetlenie:

#AC = 8 # ako daný priemer kruhu.

Preto z Pythagorovej vety pre pravouhlý rovnoramenný trojuholník #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Potom, pretože #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Je zrejmé, že trojuholník #Delta GHI # je rovnostranná.

bod # E # je stredom kruhu, ktorý ohraničuje #Delta GHI # a ako taký je centrom priesečníkov mediánov, výšok a uhlov osi tohto trojuholníka.

Je známe, že priesečník mediánov rozdeľuje tieto mediány v pomere 2: 1 (pre dôkaz pozri Unizor a sledujte odkazy Geometria - Paralelné čiary - Mini vety 2 - Teorem 8)

Z tohto dôvodu # GE # je #2/3# celkového mediánu (a nadmorskej výšky a uhlového uhla) trojuholníka #Delta GHI #.

Poznáme nadmorskú výšku # # H z #Delta GHI #, rovná sa #3/2# násobená dĺžkou. t # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

vedieť # # H, môžeme vypočítať dĺžku strany # A # z #Delta GHI # pomocou Pythagorovej vety:

# (A / 2) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2 #

z toho:

# 4 h ^ 2 = 3 a ^ 2 #

# A = (2 h) / sqrt (3) #

Teraz môžeme vypočítať # A #:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

Oblasť trojuholníka je preto

#S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

Za cenu 104,95 dolárov za štvorcovú stopu je cena trojuholníka

#P = 104,95 * 6sqrt (3) ~ ~ 1090,67 #