Ako nájdem integrálny int (ln (x)) ^ 2dx?

Naším cieľom je znížiť moc #ln x # tak, aby sa integrál ľahšie vyhodnotil.

Môžeme to dosiahnuť integráciou častí. Majte na pamäti vzorec IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Teraz necháme #u = (lnx) ^ 2 #a #dv = dx #.

Z tohto dôvodu

#du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Teraz, keď sú kusy dohromady, dostaneme:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Tento nový integrál vyzerá oveľa lepšie! Zjednodušuje a prináša konštantu dopredu:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Teraz, aby sme sa zbavili tohto ďalšieho integrálu, urobíme druhú integráciu po častiach, prenajímame #u = ln x # a #dv = dx #.

To znamená, #du = 1 / x dx # a #v = x #.

Zostavenie nám dáva:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Všetko, čo zostalo urobiť, je zjednodušiť a mať na pamäti pridanie konštanty integrácie:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

A máme to. Pamätajte si, že integrácia podľa častí je o vychystávaní # U # tak, aby sa zmätky z integrálu odstránili. V tomto prípade sme priniesli # (ln x) ^ 2 # dole #ln x #a potom dole # 1 / x #, Nakoniec, niektorí #X#Je zrušená a integrácia je jednoduchšia.

Ako nájdem integrálny intarktan (4x) dx?

I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx Nech, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Použitie integrácie podľa častí, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [u * nu-log | Secu |] + C = 1/4 [tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u |] + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Druhá metóda: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (

Ako nájdem integrálny intln (2x + 1) dx?

Substitúciou a integráciou dielmi, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Pozrime sa na niektoré detaily. int ln (2x + 1) dx substitúciou t = 2x + 1. Pravá šípka {dt} / {dx} = 2 Pravá šípka {dx} / {dt} = 1/2 pravá šípka dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt integráciou časťami, Nech je u = ln t a dv = dt pravá šípka du = dt / t a v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C faktoringom t, = 1 / 2t (lnt-1) + C vložením t = 2x + 1 späť, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C

Ako nájdem integrálny int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Použitie integrácie pomocou častí, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Pamätajte, že integrácia podľa častí používa vzorec: intu dv = uv - intv du Ktorý je založený na produkte pravidlo pre deriváty: uv = vdu + udv Ak chcete použiť tento vzorec, musíme sa rozhodnúť, ktorý termín bude u, a ktorý bude dv. Užitočný spôsob, ako zistiť, ktorý termín ide, kde je metóda ILATE. Inverzný Trig Logaritmy Algebra Trig Exponenciály To vám dáva poradie priorít, kt