Použitie integrácie pomocou častí,
# Intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Nezabudnite, že integrácia podľa častí používa vzorec:
# # Intu # # Dv =#uv - intv # # Du #
Ktorý je založený na produkte pravidlo pre deriváty: t
#uv = vdu + udv #
Aby sme mohli použiť tento vzorec, musíme sa rozhodnúť, ktorý termín bude
Inverzný Trig
logaritmy
algebra
zaraziť
exponentials
To vám dáva poradie priorít, pre ktoré sa termín používa.
Teraz máme:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
Ďalšie položky, ktoré potrebujeme vo vzorci sú "
Derivát sa získa pomocou pravidla napájania:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Pre integrál môžeme použiť substitúciu.
použitím
Teraz máme:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
Pripojením k nášmu pôvodnému vzorcu Integration by Parts máme:
# # Intu # # Dv =#uv - intv # # Du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Teraz nám zostáva ďalší integrál, ktorý musíme ešte raz vyriešiť integráciou častí. Ťahaním za
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Tento posledný integrál môžeme vyriešiť posledným kolom substitúcie, ktoré nám dáva:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Umiestnením všetkého, čo sme spolu našli, máme teraz:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
Teraz môžeme zjednodušiť negatívy a zátvorky, aby sme získali konečnú odpoveď:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Kľúčom je pamätať na to, že skončíte s reťazcom viacerých výrazov, ktoré sa pridávajú alebo odčítajú. Neustále rozdeľujete integrál na menšie, zvládnuteľné časti, ktoré musíte sledovať pre konečnú odpoveď.
Ako nájdem integrálny intarktan (4x) dx?
I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx Nech, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Použitie integrácie podľa častí, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [u * nu-log | Secu |] + C = 1/4 [tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u |] + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Druhá metóda: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (
Ako nájdem integrálny intln (2x + 1) dx?
Substitúciou a integráciou dielmi, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Pozrime sa na niektoré detaily. int ln (2x + 1) dx substitúciou t = 2x + 1. Pravá šípka {dt} / {dx} = 2 Pravá šípka {dx} / {dt} = 1/2 pravá šípka dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt integráciou časťami, Nech je u = ln t a dv = dt pravá šípka du = dt / t a v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C faktoringom t, = 1 / 2t (lnt-1) + C vložením t = 2x + 1 späť, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C
Ako nájdem integrálny int (ln (x)) ^ 2dx?
Naším cieľom je znížiť výkon ln x tak, aby sa integrál ľahšie vyhodnotil. Môžeme to dosiahnuť integráciou častí. Majte na pamäti vzorec IBP: int u dv = uv - int v du Teraz budeme u = (lnx) ^ 2 a dv = dx. Preto du = (2lnx) / x dx a v = x. Teraz, zostavenie kusov dohromady, dostaneme: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Tento nový integrál vyzerá oveľa lepšie! Zjednodušenie trochu, a prináša konštantu von, výnosy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Teraz, aby sme sa zbavili tohto ďalšieho integrálu, urobíme druhú in