V akých intervaloch je nasledujúca rovnica konkávna, konkávne dole a kde je jej inflexný bod (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

odpoveď:

• ak # 0 <x <e ^ (- 15/56) # potom # F # je konkávne;
• ak #x> e ^ (- 15/56) # potom # F # je konkávne;
• # X = e ^ (- 15/56) # je a (klesajúci) inflexný bod

vysvetlenie:

Analyzovať konkávne a inflexné body dvojnásobne diferencovateľnej funkcie # F #, môžeme študovať pozitivitu druhého derivátu. V skutočnosti, ak # # X_0 je bod v doméne # F #, potom:

• ak # F '' (x_0)> 0 #, potom # F # je konkávne v susedstve # # X_0;
• ak # F '' (x_0) <0 #, potom # F # je konkávne v susedstve # # X_0;
• ak # F '' (x_0) = 0 # a znamenie # F, '# na dostatočne malej pravej strane # # X_0 je opačný k znaku # F, '# na dostatočne malej ľavej strane # # X_0, potom # X = x_0 # sa nazýva inflexný bod z # F #.

V konkrétnom prípade #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, máme funkciu, ktorej doménu treba obmedziť na pozitívne oblasti #RR ^ + #.

Prvý derivát je

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Druhý derivát je

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Pozrime sa na pozitívnosť # F '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Takže vzhľadom na to, že doména je #RR ^ + #, dostaneme to

• ak # 0 <x <e ^ (- 15/56) # potom # F '' (x) <0 # a # F # je konkávne;
• ak #x> e ^ (- 15/56) # potom # F '' (x)> 0 # a # F # je konkávne;
• ak # X = e ^ (- 15/56) # potom # F '' (x) = 0 #, Vzhľadom k tomu, že na ľavej strane tohto bodu # F, '# je negatívny a na pravej strane je pozitívny # X = e ^ (- 15/56) # je a (klesajúci) inflexný bod