Najvyšším bodom na Zemi je Mt. Everest, ktorý je v nadmorskej výške 8857 m. Ak je polomer Zeme k hladine mora 6369 km, koľko sa mení veľkosť g medzi hladinou mora a vrchom Mt. Everest?

odpoveď:

# "Zníženie veľkosti g" ~ ~ 0.0273m / s ^ 2 #

vysvetlenie:

nechať

#R -> "Radius hladiny Zeme na more" = 6369 km = 6369000 m #

#M -> "hmotnosť Zeme" #

#h -> "výška najvyššieho bodu" #

# "Mt Everest z hladiny mora" = 8857 m #

#g -> "Zrýchlenie spôsobené gravitáciou Zeme" #

# "do úrovne mora" = 9,8 m / s ^ 2 #

#g '-> "Zrýchlenie spôsobené gravitáciou na najvyššiu" #

# "" "spot na Zemi" #

#G -> "Gravitačná konštanta" #

#m -> "hmotnosť tela" #

Keď telo hmotnosti m je na úrovni mora, môžeme písať

# Mg = G (mM) / R ^ 2 …….. (1) #

Keď telo s hmotnosťou m je na najvyššom mieste na Everst, môžeme písať

# Mg '= G (mM) / (R + H) ^ 2 …… (2) #

Rozdelenie (2) podľa (1) dostaneme

# (G ') / g = (R / (R + H)) ^ 2 = (1 / (1 + h / R)) ^ 2 #

# = (1 + h / R) ^ (- 2) ~~ 1- (2H) / R #

(Zanedbávanie podmienok vyššej moci # H / R # ako # H / R "<<" 1 #)

teraz # G '= g (1- (2 h) / R) #

Takže zmena (zníženie) veľkosti g

# Deltag = g-g '= (2HG) / R = (2xx8857xx9.8) / 6369000

odpoveď:

# približne -027 m s ^ (- 2) #

vysvetlenie:

Newtonov zákon o gravitácii

# F = (GMm) / (r ^ 2) #

a # G # sa počíta na zemskom povrchu # # R_e nasledovne:

# m g_e = (GMm) / (r_e ^ 2) #

tak #g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

ak by sme mali počítať rôzne # G #Dostali by sme sa

#g_ (everest) - g_ (more) = GM (1 / (r_ (everest) ^ 2) - 1 / (r_ (more) ^ 2)) #

# GM = 3,886005 krát 10 ^ 14 m ^ 3 s ^ (- 2) #

# približne 3,986005 krát 10 ^ 14 * (1 / (6369000 + 8857) ^ 2) - 1 / (6369000 ^ 2)) #

# približne -027 m s ^ (- 2) #

Použitie diferenciálov zdvojnásobiť kontrolu:

#g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

#implies ln (g_e) = ln ((GM) / (r_e ^ 2)) = ln (GM) - 2 ln (r_e) #

# (dg_e) / (g_e) = - 2 (dr_e) / (r_e) #

#dg_e = - 2 (dr_e) / (r_e) g_e = -2 * 8857/6369000 * 9.81 = -0.027 ms ^ (- 2) #