Preukázať, že fialová tieňovaná plocha je rovná oblasti incircle rovnostranného trojuholníka (žltý pruhovaný kruh)?

odpoveď:

vysvetlenie:

Oblasť incircle je # Pir ^ 2 #.

Zaznamenanie pravouhlého trojuholníka s preponkou # R # a noha # R # na základni rovnostranného trojuholníka, prostredníctvom trigonometrie alebo vlastností #30 -60 -90 # pravých trojuholníkov môžeme určiť vzťah, ktorý # R = 2r #.

Všimnite si, že uhol oproti # R # je #30 # od rovnostranných trojuholníkov #60 # bol rozdelený.

Tento rovnaký trojuholník je možné vyriešiť pomocou Pytagorovej vety, ktorá ukazuje, že polovica dĺžky rovnostranného trojuholníka je #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4R ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Teraz, keď skúmame polovicu rovnostranného trojuholníka ako pravouhlého trojuholníka, vidíme, že výška # # H rovnostranného trojuholníka možno vyriešiť z hľadiska # R # pomocou vzťahu #tan (60) = h / (rsqrt3) #, od tej doby #tan (60) = sqrt3 #, toto sa stáva # H / (rsqrt3) = sqrt3 # tak # H = 3r #.

Plocha rovnostranného trojuholníka je potom # 1 / # 2BHa jeho základňa je # # 2rsqrt3 a jeho výška # # 3r, Jeho oblasť je teda # 1/2 (2rsqrt3) (3R) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Plocha menšej tienenej oblasti sa rovná jednej tretine plochy rovnostranného trojuholníka mínus incircle, alebo # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # čo je ekvivalentné # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Plocha väčšieho kruhu je # Pir ^ 2 = pi (2R) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Plocha väčšej tieňovanej oblasti je o tretinu väčšia plocha kruhu, mínus plocha rovnostranného trojuholníka, alebo # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # zjednodušiť # R ^ 2 ((4Pi-3sqrt3) / 3) #.

Celková plocha tieňovanej oblasti je potom # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4Pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-PI + 4Pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, ktorá je ekvivalentná oblasti incircle.

odpoveď:

vysvetlenie:

Pre rovnostranný trojuholník ťažisko, centrum circumcircle a orthocenter zhodujú.

Takže Radius cicumcircle (R) a polomer incircle (r) bude mať nasledujúci vzťah

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Teraz z obrázku je zrejmé, že oblasti BIG purpurovej tieňovanej oblasti# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) #

a oblasti SMALL purpurovej tieňovanej oblasti# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

kde #Delta # predstavuje plochu rovnostranného trojuholníka.

tak

#color (fialová) ("CELKOVÁ oblasť BIG a SMALL purpurovej tieňovanej oblasti" # #

# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Vloženie R = 2r

# = 1/3 (PI (2R) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> farba (oranžová) "Oblasť žltého pruhovaného kruhu" #