Ako sa goniometrická substitúcia líši od substitúcie u?

odpoveď:

Všeobecne platí, že trig integrácia sa používa pre integrály formy # X ^ 2 + -a ^ 2 # alebo #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, zatiaľ čo # U #-substitúcia sa používa, keď sa funkcia a jej derivát objaví v integrále.

vysvetlenie:

Obidva typy substitúcií považujem za fascinujúce, pretože sú za nimi. Zvážte najprv substitúciu trig. Vyplýva to z Pythagorovej teórie a Pytagorových identít, pravdepodobne z dvoch najdôležitejších pojmov v trigonometrii. Používame to, keď máme niečo ako:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # kde # A # je konštantná

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # opäť za predpokladu # A # je konštantná

Vidíme, že tieto dva vyzerajú strašne # A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, čo je Pytagorova veta. Vzťahuje sa na dve strany pravouhlého trojuholníka na preponu trojuholníka. Ak to vytiahneme, môžeme vidieť, že áno, # X ^ 2 + a ^ 2 # môže byť reprezentovaný trojuholníkom:

Obraz je veľmi užitočný, pretože nám hovorí # Tantheta = x / a #, alebo # Atantheta = x #; toto tvorí základ trig substitúcie. Navyše (a to je miesto, kde sa dostane úžasné), keď nahradíte # X = tantheta # do # X ^ 2 + a ^ 2 #, v tomto prípade skončíte s Pythagorean Identity # Tan ^ 2theta + 1 = sek ^ 2theta #, Potom môžete urobiť nejaké zjednodušenie # S ^ 2theta # Ak potrebujete, a integrál je ľahko tam von. To isté platí pre prípady # X ^ 2-a ^ 2 #, # A ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #a #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Môžete použiť trig sub. pre veľa problémov, ale môžete použiť # U #- náhrada pravdepodobne ešte viac. Túto techniku používame, keď máme niečo podobné # Intlnx / XDX #, Ak sme pozorní, vidíme, že máme dve funkcie - # # LNX a # 1 / x #, A ak si spomenieme na naše základné deriváty, vieme # D / dxlnx = 1 / x # pre #X> 0 # (alebo # D / dxlnabs (x) = 1 / x # pre túto chvíľu # násobok! = 0 #). Takže myšlienka je povedať nechať # U = LNX #; potom # (Du) / dx = 1 / x # a # Du = dx / x #, Problém po vykonaní týchto substitúcií zjednodušuje # # Intudu - oveľa jednoduchšie ako predtým.

Aj keď tieto dve techniky môžu byť odlišné, obe slúžia na rovnaký účel: znížiť integrál na jednoduchšiu formu, aby sme mohli použiť základné techniky. Som si istý, že moje vysvetlenie nestačí na zahrnutie všetkých konkrétnych podrobností o týchto substitúciách, takže pozývam ostatných, aby prispeli.