Dokážte to: (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) = 2/3?

# LHS = (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) #

# = (1 - ((sin ^ 2x) ^ 2 + (cos ^ 2x) ^ 2)) / (1 - ((sin ^ 2x) ^ 3 + (cos ^ 2x) ^ 3)) #

# = (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ ^ 2-2sin 2cos ^ 2x)) / (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ ^ 3-3sin 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)) #

# = (1- (sin ^ 2x + cos ^ 2 x) ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2x) / (1- (sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 3 + 3sin ^ 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)) #

# = (1-1 ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2x) / (1-1 ^ 3 + 3sin ^ 2xcos ^ 2x) #

# = (2sin ^ 2cos ^ 2x) / (3sin ^ 2xcos ^ 2x) = 2/3 = RHS #

ukázalo

V kroku 3 používajú sa nasledujúce vzorce

# A ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2-2ab #

a

# A ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3-3ab (a + b) #

odpoveď:

Pozrite si prosím vysvetlenie. Každý krok tohto dôkazu som potvrdil pomocou www.WolframAlpha.com

vysvetlenie:

Vynásobte obidve strany pomocou # 3 (1-sin ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x)) #

# 3-3sin ^ 4 (x) -3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

náhradka # -3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2 "pre" -3sin ^ 4 (x) #

# 3-3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2-3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Vynásobte štvorec:

# 3-3 (1 - 2cos ^ 2 (x) + cos ^ 4 (x)) - 3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Distribuovať -3:

# 3-3 + 6cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) -3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Kombinovať podobné výrazy:

# 6cos ^ 2 (x) -6cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2cos ^ 6 (x) #

Rozdeľte obe strany o 2:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1-sin ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

náhradka # - (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3 "pre" -sin ^ 6 (x) #

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1- (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3-cos ^ 6 (x) #

Rozbaliť kocku:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1- (1 - 3cos ^ 2 (x) + 3cos ^ 4 (x) -cos ^ 6 (x)) - cos ^ 6 (x) #

Distribuovať -1:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1-1 + 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) + cos ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

Kombinovať podobné výrazy:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) #

Právo je identické s ľavou stranou. Q.e.d.