Ako integrujete int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) s použitím parciálnych zlomkov?

odpoveď:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

vysvetlenie:

Musíme nájsť # A, B, C # takýmto spôsobom

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2 x-1) #

pre všetkých #X#.

Vynásobte obidve strany pomocou # X ^ 2 (2x-1) # získať

# 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2ax ^ 2ax + 2BX-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

Rovnocenné koeficienty nám dávajú

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} #

A tak máme # A = -2, B = 1, C = 4 #, Nahrádzame to v počiatočnej rovnici, dostaneme

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2 x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

Teraz ho začleňte do termínov

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2

získať

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

odpoveď:

Odpoveď je # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

vysvetlenie:

Rozklad vykonajte na čiastkové frakcie

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / x + C / (2 x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

Menovatelia sú rovnakí, porovnaj čitateľov

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

nechať # X = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

nechať # X = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Koeficienty # X ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = C / 2 = -4/2 = -2 #

Z tohto dôvodu

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2 x-1) #

takže, #int (1DX) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1DX) / x ^ 2-int (2DX) / x + int (4DX) / (2 x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #