Aké sú extrémy f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 na [-oo, oo]?

odpoveď:

# F (x) # má minimum na # X = 2 #

vysvetlenie:

Pred pokračovaním si všimnite, že toto je parabola smerujúca nahor, čo znamená, že bez ďalšieho výpočtu môžeme vedieť, že nebude mať žiadne maximá a jediné minimum na vrchole. Dokončenie námestia nám to ukáže #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, udávajúc vrchol, a teda jediné minimum, na #x = 2 #, Uvidíme, ako by sa to dalo urobiť s kalkulom.

K akémukoľvek extrému dôjde buď v kritickom bode alebo v koncovom bode daného intervalu. Ako náš daný interval # (- oo, oo) # je otvorená, môžeme ignorovať možnosť koncových bodov, a tak najprv identifikujeme kritické body funkcie, tj bod, v ktorom je derivácia funkcie #0# alebo neexistuje.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Nastavenie sa rovná #0#nájdeme kritický bod na # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Teraz môžeme buď testovať, či je extrémum (a aký typ) kontrolou niektorých hodnôt # F # okolo tohto bodu, alebo použitím druhého derivátového testu. Použime to druhé.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

ako #f '' (2) = 6> 0 #, druhý derivátový test nám to hovorí # F (x) # má miestne minimum na adrese # X = 2 #

Tak, s použitím # F '(x) # a # F '' (x) #, zistili sme to # F (x) # má minimum na # X = 2 #, zodpovedajúce výsledku sme našli pomocou algebry.