Dokážte: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Dokázať # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

nechať # Cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

teraz # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Šou

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Niekedy trig je menej o matematike a viac o rozpoznávaní matematiky, keď ju vidíme. Tu si uvedomujeme # 4x ^ 3 -3x # ako kosínusový trojnásobný uhol, # cos (3 heta) # kedy # x = cos #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # sa tiež nazýva # T_3 (x) #, tretí Chebyshevov polynóm prvého druhu. Všeobecne, # cos (nx) = T_n (cos x).

Budeme predpokladať # # ARccOS odkazuje na hodnotu istiny. Radšej volám príkazcu #text {Arc} Text {cos} # ale to je ťažšie písať.

Dosť pozadia. Akonáhle sme rozpoznali trojnásobný uhol vzoru, dôkaz je jednoduchý.

dôkaz:

nechať #theta = arccos x.

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #