Dokážte: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Dokázať # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

nechať # Cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

teraz # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Šou

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Niekedy trig je menej o matematike a viac o rozpoznávaní matematiky, keď ju vidíme. Tu si uvedomujeme # 4x ^ 3 -3x # ako kosínusový trojnásobný uhol, # cos (3 heta) # kedy # x = cos #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # sa tiež nazýva # T_3 (x) #, tretí Chebyshevov polynóm prvého druhu. Všeobecne, # cos (nx) = T_n (cos x).

Budeme predpokladať # # ARccOS odkazuje na hodnotu istiny. Radšej volám príkazcu #text {Arc} Text {cos} # ale to je ťažšie písať.

Dosť pozadia. Akonáhle sme rozpoznali trojnásobný uhol vzoru, dôkaz je jednoduchý.

dôkaz:

nechať #theta = arccos x.

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #

Ukážte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Som trochu zmätený, ak urobím Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný ako cos (180 ° -theta) = - costheta v druhý kvadrant. Ako mám ísť na preukázanie otázky?

Pozri nižšie. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Prosím, pomôžte mi s nasledujúcou otázkou: ƒ (x) = x ^ 2 + 3x + 16 Nájsť: ƒ (x + h) Ako? Ukážte všetky kroky, aby som lepšie porozumel! Prosím pomôžte!!

F (x) = x ^ 2 + x (2h + 3) + h (h + 3) +16> "nahradiť" x = x + h "do" f (x) f (farba (červená) (x + h )) = (farba (červená) (x + h)) ^ 2 + 3 (farba (červená) (x + h)) + 16 "rozdeľte faktory" = x ^ 2 + 2hx + h ^ 2 + 3x + 3h +16 "expanzia môže byť ponechaná v tejto forme alebo zjednodušená faktorizáciou" = x ^ 2 + x (2h + 3) + h (h + 3) +16

Dokážte, že 32sin ^ 4x.cos ^ 2x = cos6x-2cos4x-cos 2x + 2?

RHS = cos6x-2cos4x-cos2x + 2 = cos6x-cos2x + 2 (1-cos4x) = -2sin ((6x + 2x) / 2) * sin ((6x-2x) / 2) + 2 * 2sin ^ 2 ( 2x) = 4sin ^ 2 (2x) -2sin4x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -2 * 2 * sin2x * cos2x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -4sin ^ 2 (2x) * cos2x = 4sin ^ 2 (2x) [1-cos2x] = 4 * (2sinx * cosx) ^ 2 * 2sin ^ 2x = 4 * 4s ^ 2x * cos ^ 2x * 2s ^ 2x = 32sin ^ 4x * cos ^ 2x = LHS