Pomôžte odlíšiť a zjednodušiť?

odpoveď:

# X ^ (Tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

vysvetlenie:

expresné # X ^ Tanx # ako sila e:

# X ^ Tanx = e ^ ln (x ^ Tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = D / DXE ^ (lnxtanx) #

Použitie pravidla reťazca, # D / DXE ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # kde # U = lnxtanx # a # D / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (D / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

expresné # E ^ (lnxtanx) # ako sila x:

# E ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ Tanx) = x ^ Tanx #

# = X ^ Tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Použite pravidlo produktu, # D / (dx) (UV) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, kde # U = LNX # a # V = Tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Derivát # # Tanx je # S ^ # 2x

# = X ^ Tanx (sek ^ 2xlnx + (d / (dx) (LNX)) Tanx) #

Derivát # # LNX je # 1 / x #

# = X ^ Tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

odpoveď:

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

vysvetlenie:

Použijeme logaritmickú diferenciáciu - to znamená, že vezmeme prirodzený log oboch strán a implicitne diferencujeme w.r.t #X#

Vzhľadom na to: # Y = x ^ tan (x) #

Vezmite prirodzený protokol (# Ln #) oboch strán:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Uplatnenie pravidla mocnosti prirodzeného denníka #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Odlíšiť obe strany implicitne w.r.t #X#

# 1 / y * dy / dx = farba (modrá) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Pozri prácu nižšie)

Na rozlíšenie RHS budeme musieť použiť pravidlo produktu!

Máme # D / dx tan (x) * ln (x) #

nechať # F (x) = tan (x) # a #G (x) = ln (x) #

To znamená, # F '(x) = sec ^ 2 (x) # a #G '(x) = 1 / x #

Podľa pravidla produktu: # D / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Nahradením dostaneme:

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Zjednodušenie …

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Späť na to, čo sme mali predtým:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Chceme izolovať # Dy / dx # tak sme znásobili obe strany # Y #

#cancelcolor (červená) y * 1 / Cancel * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * farba (červená) y #

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * farba (červená) y #

Chceme písať všetko z hľadiska #X# ale máme to #COLOR (červená) y # tým spôsobom. Môžete si to pripomenúť #COLOR (červená) y # sa nám dáva na samom začiatku. #COLOR (červená) (y = x ^ tan (x)) #

#:. Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #