Ako to integrovať? - Počet 2024

odpoveď:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3 x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

vysvetlenie:

Chceme to vyriešiť

# I = INT2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3 x) dx #

Vyskúšame všeobecnejší problém

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Kde hľadáme riešenie

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + ACOS (bx))) / (a + b ^ 2 ^ 2) + C #

Trik spočíva v tom, že dvakrát využijete integráciu

# Intudv = uv-intvdu #

nechať # U = e ^ (ax) # a # Dv = cos (bx) dx #

potom # Du = ae ^ (ax) dx # a # V = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / sa ^ (ax) sin (bx) -a / Bint ^ (ax) sin (bx) dx #

Použite integráciu častí na zostávajúci integrál

# I_2 = a / Bint ^ (ax) sin (bx) dx #

nechať # U = e ^ (ax) # a # Dv = sin (bx) dx #

potom # Du = ae ^ (ax) dx # a # V = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / sa ^ (ax) cos (bx) + a / Bint ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2INT ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Nahraďte ho pôvodným integrálom a vyriešte ho # # I_1, je to trochu dlhé, ale robíme to krok za krokom

# I_1 = 1 / sa ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / sa ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / sa ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (A ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / sa ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a + b ^ 2 ^ 2) (1 / sa ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a + b ^ 2 ^ 2) (so ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + ACOS (bx))) / (a + b ^ 2 ^ 2) + C #

Pre váš problém # A = ln (2) # a # B = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3 x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Dúfajme, že nie je veľa chýb

Pozri odpoveď nižšie: namiesto všeobecnej formulácie sme riešili diskrétne prvky a konečný výsledok sme nezjednodušili takto:

Ako integrovať int x ^ lnx?

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Začneme u-substitúciou u = ln (x). Potom sa delíme deriváciou u na integráciu s ohľadom na u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u teraz musíme vyriešiť pre x v zmysle u: u = ln (x) x = e ^ u int x x x u u = int ^ u * (e ^ u) ^ u = int 2 + u) du Môžete hádať, že to nemá elementárny anti-derivát a mali by ste mať pravdu. Môžeme však použiť formu pre imaginárnu chybovú funkciu, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Ak chcete získať náš integrál do tejto fo

Ako integrovať (x ^ 2 9) ^ (3/2) dx?

Vyriešený! x ^ 3/4 sqrt (x ^ 2-9) -45 / 8x sqrt (x ^ 2-9) + 243 / 8ln (x + sqrt (x ^ 2-9)) použite redukčný vzorec alebo integráciu podľa častí na integráciu (sec u) ^ 5

Ako integrovať int e ^ x sinx cosx dx?

Int ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Najprv môžeme použiť identitu: 2sinthetacostheta = sin2x, ktorá dáva: int ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Teraz môžeme použiť integráciu po častiach. Vzorec je: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx I nechám f (x) = hriech ( 2x) a g '(x) = e ^ x / 2. Ak použijeme vzorec, dostaneme: int ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Teraz môžeme aplikovať integráciu ešte raz , tentoraz s f (x) = cos (2x) a g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x /