Ako integrovať int e ^ x sinx cosx dx?

odpoveď:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

vysvetlenie:

Najprv môžeme použiť identitu:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

ktorý dáva:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2násobok ^ xsin (2x) dx #

Teraz môžeme použiť integráciu po častiach. Vzorec je:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Pustím # F (x) = sin (2x) # a #G '(x) = e ^ x / 2 #, Ak použijeme vzorec, dostaneme:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Teraz môžeme opäť použiť integráciu častí, tentoraz s # F (x) = cos (2x) # a #G '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int h (2x) e ^ x dx #

Teraz máme integrál na oboch stranách rovnosti, takže to môžeme vyriešiť ako rovnicu. Najprv pridáme 2-násobok integrálu na obe strany:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Keďže sme chceli polovicu ako koeficient na pôvodnom integrále, rozdeľujeme obe strany podľa #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

odpoveď:

# int e x x xxxx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

vysvetlenie:

Hľadáme:

# I = int ^ xxxxxxx

Ktoré používajú identitu:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Môžeme písať ako:

# I = 1/2 int ^ x x2x dx #

# I = 1/2

Kde pre pohodlie uvádzame:

# I_S = int ^ x x2x dx #a # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Teraz opäť robíme integráciu podľa častí.

nechať # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Potom sa do formulára IBP dostaneme:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x2x - 1/2 I_S # ….. B}

Teraz máme dve simultánne rovnice v dvoch neznámych #JE#, a # # I_C, takže nahradenie B do A máme:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Viesť k:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #