Aká je pravdepodobnosť výhry v nasledujúcej nekonečne opakovanej hre?

odpoveď:

# "Odpoveď D)" #

vysvetlenie:

# "Je to jediná logická odpoveď, ostatné sú nemožné."

# "Toto je problém s hazardom hráča."

# "Hráč začína s dolárom." #

# "Hrá, kým nedosiahne hodnotu G dolár, alebo klesne na 0."

#p = "šanca, že vyhrá 1 dolár v jednej hre."

#q = 1 - p = "šanca, že stratí 1 dolár v jednej hre."

# "Zavolajte" r_k "pravdepodobnosť (šanca), že sa zničí." #

# "Potom máme" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "s" 1 <= k <= G-1 #

# "Túto rovnicu môžeme prepísať kvôli p + q = 1 nasledovne:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Teraz tu máme prípad" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Pre" r_k "máme" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Takže hráč A tu začína s k = dolárom a hrá do" #

# "dostane zničený alebo má + b dolár."

# => k = a, "a" G = a + b #

# "Takže šance, že sa zničí, sú" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Kurz, ktorý vyhrá, je" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Odpoveď D)" #