Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé / nepravdivé? (i) R² má nekonečne veľa nenulových, správnych vektorových podprostorov (ii) Každý systém homogénnych lineárnych rovníc má nenulové riešenie.

odpoveď:

# #

# "(i) Pravda." #

# "(ii) False." #

vysvetlenie:

# #

# "Dôkazy." #

# "(i) Môžeme vytvoriť takúto množinu podprostorov:" #

# "1)" celé r v RR, "let:" qad quad V_r = (x, r x) v RR ^ 2. #

# "Geometricky," V_r "je čiara prechádzajúca pôvodom" RR ^ 2, "svahu" r. #

# "2) Skontrolujeme, či tieto podprocesy odôvodňujú tvrdenie (i)." #

# "3) Jasne:" qquad quad qquad quad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Skontrolujte, či:" qquad quad V_r "je správny podpriečinok" ^ ^ 2. #

# "Let:" qquad u, v vo V_r, al, beta v RR. qquad qquad quad quad "Overiť, že:" quad al u + beta v Vr. #

# u, v vo V_r rrrr = = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "pre niektoré" x_1, x_2 v RR #

# qquad quad qquad:. qquad quad al u + beta v = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad quad qquad qquad quad qquad qquad quad quad = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad quad qquad qquad qquad quad qquad qquad quad quad = (a x_1, a r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad quad qquad qquad qquad quad qquad qquad quad quad = (a x_1 + beta x_2, a r x_1 + beta r x_2) #

# qquad quad qquad qquad qquad quad qquad qquad quad quad = (x x1 + beta x_2, r (x x1 + beta x_2, r (x x1 + beta x_2)) #

# qquad quad quad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) vo V_r; qquad "s" x_3 = alfa x_1 + beta x_2. #

# "Takže:" qquad quad qquadu, v vo V_r, alfa, beta v reprízii rArr quad al u + beta v. #

# "Tak:" qquad quad quad qquad qquad quad quad V_r "je podpriečinok" ^ ^ 2. #

# "Ak chcete vidieť, že" V_r "je nenulové, všimnite si, že:" #

# qquad qquad quad qquad qquad qquad (1, r) v V_r, "a" (1, r) nie (0, 0).

# "Ak chcete vidieť, že" V_r "je správne," "všimnite si, že" (1, r + 1)!

# (1, r + 1) vo V_r rArr "(podľa konštrukcie" V_r ")" quad r cd 1 = r + 1 #

# qquad quad qquad quad qquad qquad rArr r = r + 1, "jednoducho nemožné." #

# "Takto: qquad quad qquad V_r" je nenulový, vlastný podpriečinok "^ ^ 2." qquad qquad qquad (1) #

# "5) Teraz ukazujú, že existuje nekonečne veľa takýchto podprostorov" V_r. #

# "Let:" qquad quad r, s v RR. qquad qquad quad quad "Ukážeme:" quad r s s rrr Vrr V_s. #

# "Podľa definície:" quad (1, r) = (1, r cd 1) vo V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) vo V_s. #

# "Jasne:" qquad quad qquad quad qquad r s s rrr (1, r) n (1, s). #

# "Tak:" qquad quad qquad qquad qquad quad r s s rArr Vrr V_s. #

# "Takže každý" r v RR "vytvára zreteľný subpriestor" V_r. #

# "Toto spolu s (1) dáva:" #

# "Rodina podpriestorov:" r v RR, "je nekonečná rodina" # #

# "nenulových, vlastných podpriestorov" ^ ^ 2. qquad qquad quad qquad qquad quad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Toto je vlastne jednoduché. Ak je systém štvorcový a" #

# "matica koeficientov systému invertibilná, bude existovať iba" #

# "nulové riešenie." #

# "Predpokladajme:" qquad quad quad A "je štvorcová, invertible matica." #

# "Zvážte homogénny systém:" #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Tak, ako" A je invertible: "#

# qquad qquad quad qquad qquad quad qquad A ^ {- 1} cd A x = A ^ {- 1} cd 0. #

# qquad quad qquad qquad:. qquad quad qquad qquad I x = 0. #

# qquad quad qquad qquad:. qquad quad qquad qquad x = 0. #

# "Tak homogénny systém" A x = 0, "nemá" #

# "nenulové riešenie." Qquad qquad qquad qquad qquad quad qquad quad qquad quad qquad quad quad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad štvorec