Aká je rovnica priamky, ktorá je normálna k polárnej krivke f (theta) = - 5theta ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) pri theta = pi?

odpoveď:

Linka je #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

vysvetlenie:

Tento znak rovnice je odvodený prostredníctvom trochu zdĺhavého procesu. Najprv načrtnem kroky, ktorými bude derivácia pokračovať a potom tieto kroky vykonajte.

Dostali sme funkciu v polárnych súradniciach, # F (theta) #, Môžeme vziať deriváciu, # F '(theta) #, ale aby sme skutočne našli čiaru v karteziánskych súradniciach, budeme potrebovať # Dy / dx #.

Nájdeme # Dy / dx # pomocou nasledujúcej rovnice:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Potom pripojíme tento sklon do štandardného kartézskeho riadku:

#y = mx + b #

A vložte kartézske konvertované polárne súradnice nášho bodu záujmu:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Niekoľko vecí, ktoré by mali byť okamžite zrejmé a ušetrí nám čas nadol. Berieme čiaru, ktorá sa dotýka bodu #theta = pi #, To znamená, že #sin (theta) = 0 # takže …

1) Naša rovnica pre # Dy / dx # bude skutočne:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Naše rovnice pre karteziánske súradnice nášho bodu sa stanú:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Počnúc skutočným vyriešením problému, potom je našou prvou objednávkou práce hľadanie # F '(theta) #, Nie je to ťažké, len tri jednoduché deriváty s reťazovým pravidlom sa vzťahujú na dva:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Teraz chceme vedieť # F (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

a # F '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sek ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

S týmito v ruke sme pripravení určiť náš sklon:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Môžeme to zapojiť ako # M # v #y = mx + b #, Pripomeňme, že sme to už predtým určili # Y = 0 # a #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Môžeme kombinovať naše predtým určené # M # s naším novo určeným # B # dať rovnicu pre riadok:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #