Aký je rozsah y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Najprv sa pozrime na doménu:

Pre aké hodnoty #X# je definovaná funkcia?

Čitateľ # (1-x) ^ (1/2) # je definovaná iba vtedy, keď # (1-x)> = 0 #, pridanie #X# na oboch stranách tohto nájdete #x <= 1 #.

Taktiež požadujeme, aby bol menovateľ nenulový.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # je nula, keď #x = -1 / 2 # a kedy #x = -1 #.

Takže doména funkcie je

# {x v RR: x <= 1 a x! = -1 a x! = -1/2} #

vymedziť #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # v tejto oblasti.

Uvažujme každý súvislý interval v doméne samostatne:

V každom prípade, nech #epsilon> 0 # byť malé kladné číslo.

Prípad (a): #x <-1 #

Pre veľké záporné hodnoty #X#, # F (x) # je malý a pozitívny.

Na druhom konci tohto intervalu, ak #x = -1 - epsilon # potom

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # ako #epsilon -> 0 #

Tak pre #x <-1 # rozsah # F (x) # je # (0, + oo) #

Prípad (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # ako #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Tak pre # -1 / 2 <x <= 1 # rozsah # F (x) # je # 0, + oo #

Prípad (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # ako #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # ako #epsilon -> 0 #

Takže zaujímavá otázka je, aká je maximálna hodnota # F (x) # v tomto intervale. Ak chcete nájsť hodnotu #X# pre ktoré sa to javí, aby sa derivácia rovnala nule.

# D / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3 + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) (2x ^ 2 + 3 + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3 + 1) ^ 2 #

To bude nulové, keď je čitateľ nula, takže by sme chceli vyriešiť:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3) = 0 #

Vynásobte pomocou # 2 (1-x) ^ (1/2) # získať:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

To je:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

ktorý má korene # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Z týchto koreňov, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # spadá do príslušného intervalu.

Nahraďte ho späť # F (x) # nájsť maximum #f (x) v tomto intervale (približne -10).

Zdá sa mi to zložité. Urobil som nejaké chyby?

odpoveď: Rozsah funkcie je # (- oo, -10,58 uu 0, oo #

pre #xv (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

pre #x in (-1, -0,5) # #-># #y in (-oo, -10,58 #

pre #x in (-0,5, 1 # #-># #y v 0, oo #