Aké sú extrémne a sedlové body f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

odpoveď:

Existuje jeden extrém #(3,3,27)#

Máme:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

A tak odvodíme čiastkové deriváty:

# (čiastočné f) / (čiastočné x) = y - 27 / x ^ 2 t a # (čiastočné f) / (čiastočné y) = x - 27 / y ^ 2 #

V extrémnych alebo sedlových bodoch máme:

# (čiastočné f) / (čiastočné x) = 0 t a # (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 t súčasne:

simultánne riešenie:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Odčítanie týchto rovníc dáva:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Môžeme to odstrániť # x = 0; y = 0 # a tak # X = y # je jediné platné riešenie, ktoré vedie k:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

A s # X = y = 3 #, máme:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Existuje teda iba jeden kritický bod, ktorý sa vyskytuje pri (3, 3, 27), ktoré je možné vidieť na tomto grafe (ktorý zahŕňa rovinu dotyčnice)