odpoveď:
Pozrite si nižšie uvedené vysvetlenie
vysvetlenie:
Funkcia je
# F (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3-3y + 4 #
Čiastočné deriváty sú
# (DELF) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (Dely) = 2y + x-3 #
nechať # (DELF) / (delx) = 0 # a # (DELF) / (Dely) = 0 #
potom
# {(2x + y + 3 = 0), (2y + x 3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Hesenská matica je
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #
Rozhodujúcim faktorom je
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Z tohto dôvodu
Neexistujú žiadne sedlové body.
#D (1,1)> 0 # a # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, existuje miestne minimum na adrese #(-3,3)#
odpoveď:
Miestne minimum: #(-3,3)#
vysvetlenie:
Skupina bodov, ktorá zahŕňa ako body extrémy, tak aj sedla, sa zistí, keď sú obe # (DELF) / (delx) (x, y) # a # (DELF) / (Dely) (x, y) # sú rovné nule.
Za predpokladu, #X# a # Y # sú nezávislé premenné:
# (DELF) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (Dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Takže máme dve simultánne rovnice, ktoré sú šťastne lineárne:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y-3 = 0 #
Od prvého:
# Y = -2x-3 #
Nahradiť druhého:
# X + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# X-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# X = -3 #
Nahradiť späť do prvej:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Takže existuje jeden bod, kde sa prvé deriváty rovnomerne stávajú nulovými, buď extrémom alebo sedlom # (X, y) = (- 3,3) #.
Na odvodenie, ktoré z nich musíme vypočítať maticu druhých derivátov, Hessovskú maticu (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
teda
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Všetky deriváty druhého rádu sú rovnomerne konštantné bez ohľadu na hodnoty #X# a # Y #, takže nemusíme konkrétne počítať hodnoty bodu záujmu.
Poznámka: Poradie diferenciácie nezáleží na funkciách s kontinuálnymi druhými deriváciami (Clairaultova veta, aplikácia tu: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), a preto očakávame, že # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, ako vidíme v našom konkrétnom výsledku vyššie.
V tomto dvoch premenlivých prípadoch môžeme odvodiť typ bodu z determinantu Hesenska, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (Dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Tu je uvedený spôsob testu, ktorý sa má spravovať:
Vidíme, že determinantom je #>0#, a tak je # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #, Takže sme to uzavreli #(-3,3)#, jediný bod nulového prvého derivátu, je lokálne minimum funkcie.
Ako kontrola zdravého rozumu pre jedno-dimenzionální funkcie otázku, som zvyčajne post graf, ale Socratic nemá povrch alebo kontúry vykresľovanie zariadenia vhodné pre dvojrozmerné funkcie, pokiaľ vidím. Takže tieto dve funkcie preplním # F (-3, y) # a # F (x, 3) #, ktoré pre nás charakterizujú celú doménu funkcií, ale ukážu nám minimum medzi nimi, ktoré sa javí ako očakávané # Y = 3 # a # X = -3 #s rovnakou hodnotou funkcie # F = -5 # v každom prípade.
ako # F (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3-3y + 4 #
# F (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
# F (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graf {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
