Ako vyriešiť separovateľnú diferenciálnu rovnicu a nájsť konkrétne riešenie spĺňajúce počiatočnú podmienku y ( 4) = 3?

odpoveď:

Všeobecné riešenie: #color (červená) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Konkrétne riešenie: #COLOR (modro) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

vysvetlenie:

Z danej diferenciálnej rovnice #y '(x) = sqrt (4y (x) 13) #

Všimnite si, že #y '(x) = dy / dx # a #y (x) = y #, preto

# Dy / dx = sqrt (4y + 13) #

rozdeliť obe strany #sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Vynásobte obidve strany pomocou # # Dx

# Dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / zrušiť (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# Dy / sqrt (4y + 13) = dx #

transponovať # # Dx na ľavej strane

# Dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

Na oboch stranách máme tieto výsledky

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (červená) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Všeobecné riešenie

ale #y (-4) = 3 # znamená, kedy # X = -4 #, # Y = 3 #

Teraz môžeme vyriešiť # # C_1 riešenie

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = c_1 #

# (4 (3), 13), ^ (1/2) -2 (-4) = c_1 #

# C_1 = 13 #

Preto je našim konkrétnym riešením

#COLOR (modro) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Boh žehnaj … Dúfam, že vysvetlenie je užitočné.

odpoveď:

# Y = x ^ 2 + 13x + 36 #, s #Y> = - 13/4 #.

vysvetlenie:

#Y> = - 13/4 #, aby sme to urobili #sqrt (4y + 13) # reálny..

preskupiť, #X '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

takže, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Použitím #y = 3, keď x = -4, C = -`13 / 2 #

So. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Inverzne. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #

Ako môžem vyriešiť túto diferenciálnu rovnicu?

Y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 Toto je oddeliteľná diferenciálna rovnica, ktorá jednoducho znamená, že je možné zoskupte výrazy x a y na opačných stranách rovnice. Takže toto je to, čo budeme robiť ako prvé: (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y Teraz , chceme dostať dy na strane s y a dx na strane s x. Budeme musieť urobiť trochu preskupenia: (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy Teraz integrujeme obe strany:

Aké je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) a u (0) = - 5?

U ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C použitím IV (-5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C znamená C = 25 u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25

Vyriešte diferenciálnu rovnicu: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Diskutujte o tom, aká je táto diferenciálna rovnica a kedy sa môže vyskytnúť?

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y najlepšie napísané ako (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 trojuholník qquad, ktorý ukazuje, že ide o lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu, má charakteristickú rovnicu r ^ 2 8 r + 16 = 0, ktorá môže byť riešená nasledovne (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 toto je opakovaný koreň, takže všeobecné riešenie je vo forme y = (Ax + B) e ^ (4x) toto je neoscilujúce a modely nejakého exponenciálneho správania, ktoré skutočne závisí od hodnoty