Ako použijete limitný porovnávací test pre súčet 1 / (n + sqrt (n)) pre n = 1 až n = oo?

odpoveď:

#sum_ (n = 1) ^ OO1 / (n + sqrt (n)) # diverguje, možno to vidieť porovnaním #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) #.

vysvetlenie:

Keďže táto séria je súčtom kladných čísel, musíme nájsť buď konvergentný rad #sum_ (n = 1), ^ (oo) a_n # takýmto spôsobom #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # a dospieť k záveru, že naša séria je konvergentná, alebo musíme nájsť takú odlišnú sériu #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # a uzavrieť našu sériu tak, aby sa líšila.

Poznamenávame nasledujúce:

pre

# N> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

teda

# N + sqrt (n) <= 2n #.

tak

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Pretože je dobre známe, že #sum_ (n = 1) ^ OO1 / n # diverguje #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) # tiež sa líši, pretože ak by sa zblížila, potom # 2sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ OO1 / n # konvergovať, a to nie je tento prípad.

Teraz pomocou porovnávacieho testu to vidíme #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (n + sqrt (n)) # rozchádza.

Test porovnávania limitov trvá dve série, # # Suma_n a # # Sumb_n kde #a_n> = 0 #, # # B_ngt0.

ak #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # kde #L> 0 # a je konečný, potom buď obe série konvergujú alebo obe série sa rozchádzajú.

Mali by sme to nechať # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, postupnosť z danej série. Dobrý # # B_n voľba je prevládajúca funkcia # # A_n prístupy # N # sa stáva veľkým. Tak, nech # B_n = 1 / n #.

Poznač si to # # Sumb_n diverguje (je to harmonická séria).

Vidíme to #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #, Pokračovanie delením cez # N / n #, toto sa stáva #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Pretože limit je #1#, ktorý je #>0# a definované, vidíme to # # Suma_n a # # Sumb_n sa bude líšiť alebo zbiehať. Pretože už vieme # # Sumb_n môžeme konštatovať # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ OO1 / (n + sqrtn) # odlišuje.

Jim chodí do kina každý piatok večer so svojimi priateľmi. Minulý týždeň si kúpili 25 vstupeniek pre dospelých a 40 vstupeniek pre mládež za cenu 620 USD. Tento týždeň strávia 560 dolárov na 30 dospelých a 25 vstupenkách pre mládež. aké sú náklady na jeden lístok pre dospelých a jeden lístok pre mládež?

„dospelý“ = $ 12 “a mládež“ = $ 8 „nech x je cena za lístok pre dospelých a„ “sú náklady na lístok pre mládež„ 25x + 40y = 620to (1) 30x + 25y = 560to (2) “ hodnoty môžeme zjednodušiť delením oboch rovníc "" o 5 "(1) na5x + 8y = 124to (3) (2) to6x + 5y = 112to (4)" na odstránenie x násobenia "(3)" o 6 a " (4) "po 5" (3) až 30x + 48y = 744to (5) (4) až 30x + 25y = 560to (6) "odčítať termín podľa termínu na odstránenie x" (5) - (6) (30x-30x) + (48y-25y) = (744-560) rArr23y = 184 rArry =

Poznajúc vzorec k súčtu N celých čísel a) čo je súčet prvých N po sebe idúcich štvorcových celých čísel, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Súčet prvých N po sebe idúcich celých čísel kocky Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Pre S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Máme sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 riešenie pre sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ale sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 so sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3- (n

V minulom roku, Lisa uložil 7000 dolárov na účet, ktorý zaplatil 11% úrokov ročne a 1000 dolárov na účet, ktorý zaplatil 5% úrokov ročne Žiadne výbery z účtov. Aký bol celkový úrok získaný na konci 1 roka?

820 $ Poznáme vzorec jednoduchého Záujem: I = [PNR] / 100 [Kde I = Úroky, P = Principál, N = Počet rokov a R = Úroková sadzba] V prvom prípade P = 7000 USD. N = 1 a R = 11% Tak, záujem (I) = [7000 * 1 x 11] / 100 = 770 Pre druhý prípad, P = $ 1000, N = 1 R = 5%, takže (I) = [1000 * 1 * 5] / 100 = 50 Celkový úrok = 770 USD + 50 USD = 820 USD