Ako môžem vyriešiť túto diferenciálnu rovnicu?

odpoveď:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

vysvetlenie:

Toto je separovateľná diferenciálna rovnica, čo jednoducho znamená, že je možné zoskupiť #X# termíny & # Y # na opačných stranách rovnice. Toto je to, čo budeme robiť ako prvé:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Teraz sa chceme dostať dy na strane s y, a dx na strane s x. Budeme musieť urobiť trochu preskupenia:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Teraz integrujeme obe strany:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Urobme každý z nich postupne:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Po prvé, rozdelme to do dvoch samostatných integrálov podľa pravidla sčítania / odčítania:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Tieto vyzerajú trochu otravne. Môžeme im však dať trochu človeka, aby vyzerali krajšie (a oveľa ľahšie vyriešiteľné):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Obaja sú teraz jednoduché # U #- náhradných integrálov. Ak ste nastavili #u = -x # a # # -3x odpoveď dostanete nasledovne:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

#int y / e ^ (- y) dy #

# Ak urobíme negatívny exponent pozitívny, dostaneme:

#int (ye ^ y) dy #

Na tento účel budeme musieť použiť integráciu podľa častí. Vzorec je:

#int (UV) = dy UV-int (v * du) #

Nastavíme #u = y #a #dv = e ^ y dy #, Dôvodom je, že chceme ľahké # Du # pre túto konečnú integráciu a tiež preto, že # E ^ y # sa veľmi ľahko integruje.

takže:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Teraz sme len plug and chug:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Vrátiť všetko späť do:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Ako sa zbaviť negatívnych exponentov:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

A to je celkom slušná konečná odpoveď. Ak by ste chceli vyriešiť # Y #, mohol by si a skončil by si

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Všimnite si, že nemáme # + C # na LHS tejto rovnice. Dôvodom je to, že aj keby sme to dali, nakoniec by sme ho odčítali od RHS a ľubovoľná konštanta mínus ľubovoľná konštanta je stále (čaká na ňu) ľubovoľná konštanta. Preto pre tieto problémy, pokiaľ máte svoje # + C # na jednej strane rovnice, budete v poriadku.

Dúfam, že to pomohlo:)

Na určenie, či je nejaká funkcia funkciou, používame vertikálnu čiarovú skúšku, tak prečo používame horizontálnu čiarovú skúšku pre inverznú funkciu, ktorá je v protiklade s testom vertikálnej čiary?

Na určenie, či inverzná funkcia je skutočne funkciou, použijeme len test horizontálnej čiary. Tu je dôvod, prečo: Po prvé, musíte sa pýtať sami seba, čo je inverzná funkcia, je to tam, kde x a y sú prepnuté, alebo funkcia, ktorá je symetrická k pôvodnej funkcii cez čiaru, y = x. Takže áno, použijeme vertikálny riadkový test na zistenie, či je niečo funkciou. Čo je to vertikálna čiara? Je to rovnica x = niektoré číslo, všetky čiary, kde x je rovné určitej konštante, sú zvislé čiary. Preto, definíciou inverznej funkc

Ako vyriešiť separovateľnú diferenciálnu rovnicu a nájsť konkrétne riešenie spĺňajúce počiatočnú podmienku y ( 4) = 3?

Všeobecné riešenie: farba (červená) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" Konkrétne riešenie: farba (modrá) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) Z danej diferenciálnej rovnice y '(x) = sqrt (4y (x) +13) berieme na vedomie, že y' (x) = dy / dx a y (x) = y, teda dy / dx = sqrt (4y + 13) rozdeliť obe strany sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13) )) = 1 Vynásobte obidve strany dx dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 zrušiť (dx) * dy / zrušiť (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 dy / sqrt (4y + 13) = dx transponovať dx na ľ

Vyriešte diferenciálnu rovnicu: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Diskutujte o tom, aká je táto diferenciálna rovnica a kedy sa môže vyskytnúť?

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y najlepšie napísané ako (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 trojuholník qquad, ktorý ukazuje, že ide o lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu, má charakteristickú rovnicu r ^ 2 8 r + 16 = 0, ktorá môže byť riešená nasledovne (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 toto je opakovaný koreň, takže všeobecné riešenie je vo forme y = (Ax + B) e ^ (4x) toto je neoscilujúce a modely nejakého exponenciálneho správania, ktoré skutočne závisí od hodnoty