Nájdite oblasť tieňovanej oblasti?

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Keď sa najprv naučíme nájsť oblasti integráciou, vezmeme reprezentatívne obdĺžniky vertikálne.

Obdĺžniky majú základňu # # Dx (malá zmena v #X#) a výšky rovnajúce sa väčšej # Y # (na hornej krivke) mínus menšie # Y # hodnota (tá na dolnej krivke). Potom sa integrujeme od najmenších #X# hodnotu #X# hodnota.

Pre tento nový problém by sme mohli použiť dve takéto intergrals (pozri odpoveď Jim S), ale je veľmi cenné naučiť sa zmeniť naše myslenie #90^@#.

Zoberieme reprezentatívne obdĺžniky horizontálne.

Obdĺžniky majú výšku #D Y# (malá zmena v # Y #) a bázy rovné väčšej #X# (krivka vpravo) mínus menšie #X# hodnota (tá, ktorá je na krivke vľavo). Potom sa integrujeme od najmenších # Y # hodnotu # Y # hodnota.

Všimnite si dualitu

# {:("vertikálne", iff, "horizontálne"), (dx, iff, dy), ("horné", iff, "najviac vpravo"), ("nižšie", iff, "najviac vľavo"), (x, iff, y):} #

Fráza „od najmenšieho #X# hodnotu #X# znamená, že integrujeme zľava doprava. (V smere zvyšovania #X# hodnoty.)

Fráza „od najmenšieho # Y # hodnotu # Y # znamená, že integrujeme zdola nahor (v smere zvyšovania # Y # hodnoty.)

Tu je obrázok oblasti s uvedeným malým obdĺžnikom:

Táto oblasť je

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

odpoveď:

Oblasť tienenej oblasti je # 1 m ^ 2 #

vysvetlenie:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (môžeme vidieť z grafu)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #X (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (môžeme vidieť aj z grafu)

Jedným z mnohých spôsobov, ako môže byť oblasť tienenej oblasti vyjadrená, môže byť oblasť trojuholníka # AhatOB = Ω # okrem azúrovej oblasti, ktorú budem volať #COLOR (cyan) (Ω_3) #

nechať #Ω_1# je čierna oblasť znázornená v grafe a #COLOR (zelená) (Ω_2) # zelenú plochu zobrazenú v grafe.

Oblasť malého trojuholníka # ChatAD = # #COLOR (zelená) (Ω_2) # bude:

• #COLOR (zelená) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1/2 m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

Oblasť #Ω_1# bude:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4), ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1/2 m ^ 2 #

Výsledkom bude tieňovaná oblasť

• #Ω_1## + Farby (zelená) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #