Vyriešte diferenciálnu rovnicu: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Diskutujte o tom, aká je táto diferenciálna rovnica a kedy sa môže vyskytnúť?

odpoveď:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

vysvetlenie:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

najlepšie napísané ako

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 trojuholník qquad #

čo ukazuje, že toto je lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu

má charakteristickú rovnicu

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

ktoré môžu byť riešené nasledovne

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

toto je opakovaný koreň, takže všeobecné riešenie je vo forme

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

toto je non-oscilujúci a modely nejaký druh exponenciálneho správania, ktoré naozaj závisí od hodnoty A a B. Jeden by mohol hádať, že by to mohol byť pokus o modelovanie populácie alebo interakcie predátor / korisť, ale nemôžem povedať nič veľmi špecifické.

to ukazuje nestabilitu a to je asi všetko, čo som mohol povedať o tom

odpoveď:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

vysvetlenie:

Diferenciálna rovnica

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

je rovnica lineárneho homogénneho konštantného koeficientu.

Pre tieto rovnice má všeobecné riešenie štruktúru

#y = e ^ {lambda x} #

Nahradenie máme

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Tu # e ^ {lambda x} ne 0 # takže riešenia musia poslúchať

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Riešením získame

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Keď sa korene opakujú, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # je tiež riešením. V prípade # N # opakované korene, budeme mať ako riešenia:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # pre # I = 1,2, cdots, n #

Aby sme zachovali počet počiatočných podmienok, zaradíme ich ako nezávislé riešenia.

V tomto prípade máme

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

čo má za následok

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Tieto rovnice sa objavujú pri modelovaní lineárnych systémov s lineárnymi parametrami ako tie, ktoré sa nachádzajú v teórii lineárnych obvodov alebo lineárnej mechanike. Tieto rovnice sú normálne spracované pomocou operačných algebraických metód, ako sú metódy Laplaceovej transformácie