Povedzme, že K a L sú dva rôzne subpriestorové reálne vektorové priestory V. Ak je daná dim (K) = dim (L) = 4, ako je možné určiť minimálne rozmery pre V?

odpoveď:

5

vysvetlenie:

Nech štyri vektory # K_1, k_2, k_3 # a # # K_4 tvoria základ vektorového priestoru # K #, od tej doby # K # je subpriestor # V #tieto štyri vektory tvoria lineárne nezávislý súbor v # V #, od tej doby # L # je subpriestor # V # rozdielny od # K #musí byť aspoň jeden prvok, povedzme # # L_1 v # L #, ktorá nie je v # K #čo nie je lineárna kombinácia # K_1, k_2, k_3 # a # # K_4.

Takže súbor # {K_1, k_2, k_3, k_4, L_1} # je lineárna nezávislá množina vektorov v # V #, Tak dimenzionálnosť # V # je aspoň 5!

V skutočnosti je to možné pre rozsah # {K_1, k_2, k_3, k_4, L_1} # ako celý vektorový priestor # V # - tak, aby minimálny počet základných vektorov musel byť 5.

Ako príklad, nech # V # byť # RR ^ 5 # a nechať # K # a # V # pozostáva z vektorov foriem

# ((a), (beta), (gama), (delta), (0)) # a # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Je ľahké vidieť, že vektory

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#a #((0),(0),(0),(0),(0))#

tvoria základ # K #, Pripojiť vektor #((0),(0),(0),(0),(0))#a získate základ pre celý vektorový priestor,