Existuje nejaký bod (x, y) na krivke y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, pri ktorom je dotyčnica rovnobežná s osou x?

odpoveď:

Neexistuje žiadny taký bod, pokiaľ ide o moju matematiku.

vysvetlenie:

Po prvé, vezmime do úvahy podmienky dotyčnice, ak je rovnobežná s #X#v osi. Od roku 2006. T #X#- os je vodorovná, každá čiara rovnobežná s ňou musí byť tiež vodorovná; Z toho vyplýva, že dotyčnica je vodorovná. A samozrejme, horizontálne dotyčnice sa vyskytujú, keď sa derivácia rovná #0#.

Preto musíme najprv začať tým, že nájdeme deriváciu tejto monstróznej rovnice, ktorú môžeme dosiahnuť pomocou implicitnej diferenciácie:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) LNX #

Pomocou pravidla súčtu, pravidla reťazca, pravidla produktu, pravidla kvocientu a algebry máme:

# D / dx (LNY) = d / dx ((x + x / y) LNX) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-XDY / dx) / y ^ 2) (LNX) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX ((y-XDY / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX (1 / y- (XDY / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + (LNX) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = + LNX (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (XLNX) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + XLNX) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + XLNX) / y ^ 2) = (ylnx + LNX + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + LNX + 1 + y) / y) / ((y + XLNX) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + XLNX) #

Wow … to bolo intenzívne. Teraz nastavíme deriváciu rovnú #0# a uvidíme, čo sa stane.

# 0 = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + XLNX) #

# 0 = ylnx + LNX + 1 + y #

# -Ylnx-y = LNX + 1 #

# -Y (LNX + 1) = LNX + 1 #

#y (LNX + 1) = - (LNX + 1) #

#y = (- (LNX + 1)) / (LNX + 1) #

# Y = -1 #

Zaujímavé. Teraz sa pripojme # Y = -1 # a uvidíme, na čo sme sa dostali #X#:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / r)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Keďže ide o rozpor, dospievame k záveru, že táto podmienka neobsahuje žiadne body.

odpoveď:

Neexistuje taká dotyčnica.

vysvetlenie:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) ekv. y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #, Teraz volanie #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # máme

#df = f_x dx + f_y dy = (čiastočné u) / (čiastočné x) dx + (čiastočné v) / (čiastočné y) dy = 0 # potom

# dy / dx = - ((čiastočné u) / (čiastkové x)) / ((čiastočné v) / (čiastkové y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y)) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Vidíme to # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # # tieto hodnoty však musia overiť:

#f (x, y_0) = 0 # a

#f (x_0, y) = 0 #

V prvom prípade # y_0 = 1 # máme

# x ^ x = -1 # v reálnej oblasti.

V druhom prípade # x_0 = e ^ {- 1} # máme

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # alebo

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

ale

# y / (y + 1) log_e y> -1 # žiadne reálne riešenie.

Na záver nie je taká tangenta.

odpoveď:

Odpoveď Dr, Cawa K, x = 1 / e, je presná.

vysvetlenie:

Navrhol som túto otázku, aby som túto hodnotu získal presne. Vďaka

Dr Cawas za rozhodujúcu odpoveď, ktorá schvaľuje zjavenie

dvojitá presnosť y 'zostáva 0 okolo tohto intervalu. y je

spojité a diferencovateľné pri x = 1 / e. Ako obe 17-sd zdvojnásobiť

presnosť y a y 'sú 0, v tomto intervale okolo x = 1 / e to bolo a

predpokladá, že os x sa dotýka grafu medzi nimi. A teraz je

preukázaná. Myslím, že dotyk je transcendentný.,