odpoveď:
Čiara dotyčnice je rovnobežná s čiarou #X# os, keď je svah (teda. t # Dy / dx #) je nula a je rovnobežná s # Y # os, keď svah (opäť, # Dy / dx #) ide # # Oo alebo # # -OO
vysvetlenie:
Začneme hľadaním # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
teraz, # dy / dx = 0 # keď je nuimerator #0#za predpokladu, že to nie je aj menovateľom #0#.
# 2x + y = 0 # kedy #y = -2x #
Máme teraz dve rovnice:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Vyriešiť (nahradením)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Použitím #y = -2x #, dostaneme
Tečna k krivke je horizontálna v dvoch bodoch:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # a # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Všimnite si, že tieto dvojice tiež neznamenajú menovateľa. T # Dy / dx # rovná #0#)
Ak chcete nájsť body, na ktorých je dotyčnica vertikálna, označte menovateľa # Dy / dx # rovná tpo #0# (bez tvorby čitateľa) #0#).
Mohli by sme prejsť cez riešenie, ale symetriu rovnice, ktorú dostaneme:
# X = -2y #, takže
#y = + - sqrt21 / 3 #
a body na krivke, na ktorej je tangenta vertikálna, sú: t
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # a # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Mimochodom. Pretože máme technológiu, tu je graf tejto otočenej elipsy: (Všimnite si to # + - sqrt21 / 3 ~ ~ + - 1.528 # ktoré vidíte na grafe.)
graf {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
odpoveď:
Používam len strednú školskú matematiku
Tangenty rovnobežné s osou x pri:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) a (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangenty rovnobežné s osou y pri:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) a (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
vysvetlenie:
Pozrel som sa na Jimovu odpoveď, ktorá vyzerá ako pekná, štandardná liečba. Ale nemohol som si pomôcť, ale cítim sa smutný pre všetkých stredných žiakov, ktorí sa nachádzajú v Socratovej krajine, ktorí chcú nájsť tangenty algebraických kriviek, ale sú stále roky ďaleko od počtu.
Našťastie môžu robiť tieto problémy len pomocou Algebry I.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
To by mohlo byť trochu komplikované pre prvý príklad, ale poďme s tým. Píšeme krivku ako # F (x, y) = 0 # kde
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Vezmime # (R, S) # ako bod # F #, Chceme to preskúmať # F # blízkosti # (R, S) # tak píšeme
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Rozširujeme sa, ale rozdielne podmienky nerozšírime # X-r # a # Y-s #, Chceme, aby boli tie neporušené, takže môžeme experimentovať s odstránením niektorých neskôr.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2-7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Povedali sme # (R, S) # je zapnutý # F # tak # F (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Termíny sme triedili podľa stupňa a môžeme experimentovať s aproximáciami # F # blízkosti # (R, S) # vyšším stupňom. Myšlienka je, kedy # (X, y) # je blízko # (R, S) # potom # X-r # a # Y-s # sú malé a ich štvorce a produkty sú stále menšie.
Poďme len vytvoriť nejaké aproximácie # F #, od tej doby # (R, S) # je na krivke, konštantná aproximácia, klesajúca všetky rozdiely, je
# f_0 (x, y) = 0 #
To nie je obzvlášť vzrušujúce, ale správne nám hovorí, že sa blížime # (R, S) # poskytne hodnotu blízku nule pre # F #.
Poďme sa dostať zaujímavejšie a udržať lineárne pojmy.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Keď to nastavíme na nulu, dostaneme najlepšiu lineárnu aproximáciu # F # blízkosti # (R, S), # Ktoré je dotyčnica na # F # na # (R, S). # Teraz sa niekde dostávame.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Môžeme zvážiť aj iné aproximácie:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Jedná sa o vyššie poradie, tie, ktoré vysokoškolskí študenti matematiky sotva dostanú. Už sme prešli za univerzitný kalkul.
Existuje viac aproximácií, ale varujem, že je to už dlho. Teraz, keď sme sa dozvedeli, ako to urobiť pomocou Algebry I, urobme problém.
Chceme nájsť body, kde je tangenta rovnobežná s #X# os a # Y # Os.
Našli sme našu dotyčnicu na # (R, S) # je
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Súbežne s #X# os znamená rovnicu #y = text {konštantný} #, Takže koeficient zap #X# musí byť nula:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, S) # je na krivke # F (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
od tej doby # Y = 2R # body sú
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) a (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Podobne rovnobežne s osou y znamená # 2s + r = 0 # ktoré by mali len swap x a y kvôli symetrii problému. Takže ostatné body sú
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) a (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Skontrolovať.
Ako skontrolovať? Urobme alfa plot.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Vyzerá dobre. Počet na algebraických krivkách. Veľmi dobré pre strednú školu.
