Čo je najväčší valec s polomerom, r a výškou h, ktorý sa zmestí do sféry polomeru R?

odpoveď:

Ak sa rozhodneme, zistí sa maximálny objem valca

# r = sqrt (2/3) R #a #h = (2R) / sqrt (3) #

Táto voľba vedie k maximálnemu objemu valca:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

vysvetlenie:

``

Predstavte si prierez stredom valca a nechajte valec mať výšku # # Ha objem # V #, potom máme;

# # H a # R # môžu byť rôzne a # R # je konštanta. Objem fľaše je daný štandardným vzorcom: t

# V = pir ^ 2h #

Polomer gule, # R # je prepona trojuholníka so stranami # R # a # 1 / 2h #, takže pomocou Pythagoras máme:

# ^ ^ = R ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Môžeme nahradiť toto do našej rovnice objemu, aby sme získali:

# = Pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Teraz máme zväzok, # V # ako funkcia jednej premennej # # H, ktoré sa snažíme maximalizovať # # H tak rozdielne # # H dodáva:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Minimálne alebo maximálne, # (DV) / (dh) = 0 # so:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (očividne chceme, aby sme mali +)

#:. (2R) / sqrt (3) # t

S touto hodnotou # # H dostaneme:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Mali by sme skontrolovať, či táto hodnota vedie k maximálnemu (a nie maximálnemu) zväzku, a to pomocou druhého derivátu:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

A ako #h> 0 # k záveru, že # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # a že identifikovaný kritický bod vedie k maximu, ako bolo požadované.

Preto, ak si vyberieme, zistí sa maximálny objem valca

# r = sqrt (2/3) R #a #h = (2R) / sqrt (3) #

S touto voľbou dostaneme maximálny objem ako;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Samozrejme, že objem sféry je daný:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Toto je veľmi slávny problém, ktorý študovali grécki matematici pred tým, ako bol objavený Calculus. Zaujímavou vlastnosťou je pomer objemu valca k objemu gule:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Inými slovami, pomer objemov je úplne nezávislý od # R #, # R # alebo # # H čo je celkom ohromujúci výsledok!