Ako zistíte limit (arctan (x)) / (5x) ako x sa blíži 0?

odpoveď:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

vysvetlenie:

Ak chcete nájsť tento limit, všimnite si, že čitateľ aj menovateľ prejdú na #0# ako #X# kroky #0#, To znamená, že dostaneme neurčitú formu, takže môžeme použiť L'Hospitalove pravidlo.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Uplatnením pravidla L'Hospitala berieme deriváciu čitateľa a menovateľa, ktorá nám dáva

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Môžeme to tiež skontrolovať grafom funkcie, aby sme získali predstavu, čo #X# prístupy.

Graf č #arctan x / (5x) #:

graf {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

odpoveď:

Nižšie je vysvetlený zdĺhavý prístup s použitím trig.

vysvetlenie:

V prípade, že nie ste spokojní s Pravidlom L'Hopital, alebo ste mu ešte neboli vystavení, iný prístup k riešeniu problému zahŕňa použitie definície funkcie arctangentu.

Pripomeňme, že ak # Tantheta = x #, potom # Theta = arctanx #; to v podstate znamená, že arctangent je obrátka dotyčnice. Pomocou tejto informácie môžeme vytvoriť trojuholník, kde # Tantheta = x # a # Theta = arctanx #:

Z diagramu je zrejmé, že # Tantheta = x / 1 = x #, od tej doby # Tantheta = sintheta / costheta #, môžeme to vyjadriť takto:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Pomocou tohto plus skutočnosť, že # Theta = arctanx #, v limite môžeme vykonať náhrady:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

To zodpovedá:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) * theta lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

My to vieme #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; tak #lim_ (x-> 0), 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # alebo #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #, A odvtedy # Cos0 = 1 #, limit sa vyhodnotí na:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#