Máme:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Krok 2 - Identifikácia kritických bodov
Kritický bod nastáva pri súčasnom riešení
# f_x = f_y = 0 iff (čiastočné f) / (čiastočné x) = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 #
keď:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)), = 0, … B):}} # zároveň
Z toho môžeme stanoviť:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Preto požadujeme, aby:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Potom máme dve (nekonečné roviny) riešenia:
#:. x = + - y #
A tak sme dospeli k záveru, že po celej dĺžke priesečníka krivky a dvoch rovín je nekonečne veľa kritických bodov.
Krok 3 - Klasifikácia kritických bodov
Za účelom klasifikácie kritických bodov vykonáme test podobný testu jedného variabilného počtu pomocou druhých parciálnych derivátov a Hessian Matrix.
# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x ^ 2), (čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x čiastočné y)), ((čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné y čiastkové x), (čiastočné ^ 2 f)) / (čiastočné y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Potom v závislosti na hodnote
# {: (Delta> 0, "Maximálne je, ak" f_ (xx) <0), (, "a minimum, ak" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je potrebná ďalšia analýza):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Musíme zvážiť znamenie
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Takže v závislosti na znamení
Tu je graf funkcie
A tu je graf funkcie vrátane rovín
