Aké sú extrémy f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 v intervale [-1,3]?

odpoveď:

Máme minimá na # X = 0 # a bod inflexie na # X = 3 #

vysvetlenie:

Maxima je horný bod, ku ktorému funkcia stúpa a potom znova klesá. Sklon tangenty alebo hodnota derivátu v tomto bode bude nula.

Ďalej, pretože dotyčnice vľavo od maxima budú sklonené smerom nahor, potom splošťovanie a potom sklonenie nadol, sklon tangenty bude kontinuálne klesať, t.j. hodnota druhého derivátu by bola záporná.

Minimá na druhej strane sú dolným bodom, ku ktorému funkcia padá a potom opäť stúpa. Taktiež tangenta alebo hodnota derivátu pri minimách bude nulová.

Ale keďže dotyčnice vľavo od minima budú sklonené nadol, potom sploštené a potom šikmo nahor, sklon tangenty sa bude nepretržite zvyšovať alebo hodnota druhého derivátu bude pozitívna.

Ak je druhá derivácia nulová, máme bod

Tieto maximá a minimá však môžu byť buď univerzálne, to znamená maximá alebo minimá pre celý rozsah alebo môžu byť lokalizované, t.j. maximá alebo minimá v obmedzenom rozsahu.

Pozrime sa na to s odkazom na funkciu opísanú v otázke a na to najprv rozlišujme # F (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Jeho prvá derivácia je daná # F '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * # 2x

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

To by bolo nulové pre # X ^ 2-9 = 0 # alebo #X = + - 3 # alebo #0#, Len z týchto #{0,3}# sú v rozsahu #-1,3}#.

Preto sa v bodoch vyskytujú maximá alebo minimá # X = 0 # a # X = 3 #.

Aby sme zistili, či ide o maximá alebo minimá, pozrime sa na druhý rozdiel, ktorý je # F '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # a teda počas

na # X = 0 #, # F '' (x) = 486 # a je pozitívny

na # X = 3 #, # F '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # a je bodom inflexie.

Preto máme miestne minimá na adrese # X = 0 # a bod inflexie na # X = 3 #

, graf {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

odpoveď:

Absolútne minimum je #(-9)^3+10# (ktorý sa vyskytuje na. t #0#), absolútne maximum na intervale je #10#, (vyskytuje sa na. t #3#)

vysvetlenie:

Táto otázka nešpecifikuje, či máme nájsť relatívne alebo absolútne extrémy, takže nájdeme oboje.

Relatívne extrémy sa môžu vyskytnúť len pri kritických číslach. Kritické čísla sú hodnoty #X# ktoré sú v doméne # F # a na ktorých buď # F '(x) = 0 # alebo #f '(x) neexistuje. (Fermatova veta)

Absolútne extrémy na uzavretom intervale sa môžu vyskytnúť pri kritických číslach v intervale alebo v bodoch intervalu.

Pretože funkcia, o ktorú tu hovoríme, je nepretržitá #-1,3#, Extrémna hodnota teorém nás uisťuje, že # F # musí mať v intervale absolútne minimum aj absolútne maximum.

Kritické čísla a relatívne extrémy.

pre #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, nájdeme #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Je zrejmé, # F '# nikdy neexistujú, takže neexistujú žiadne kritické čísla tohto druhu.

riešenie # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # prináša riešenia #-3#, #0#a #3#.

#-3# nie je v oblasti tohto problému, #-1,3# takže potrebujeme len skontrolovať # F (0) # a # F (3) #

pre #x <0 #, máme #f '(x) <0 # a

pre #x> 0 #, máme #f '(x)> 0 #.

Takže prvým derivačným testom, # F (0) # je relatívne minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Ďalším kritickým číslom v intervale je #3#, Ak budeme ignorovať obmedzenie domény, zistíme, že #f '(x)> 0 # pre všetkých #X# blízkosti #3#, Funkcia sa teda zvyšuje v malých otvorených intervaloch obsahujúcich #3#, Preto, ak sa zastavíme na #3# zasiahli sme najvyšší bod v doméne.

Tam je nie všeobecnú dohodu, či to povedať # F (3) = 10 # je relatívne maximum pre túto funkciu #-1,3#.

Niektoré vyžadujú hodnotu na oboch stranách aby boli menej, iní vyžadujú, aby hodnoty v doméne na oboch stranách boli menšie.

Absolútna extréma

Situácia pre absolútne extrémy v uzavretom intervale # A, b # je oveľa jednoduchšie.

Nájdite kritické čísla v uzavretom intervale. Zavolajte používateľa # c_1, c_2 # a tak ďalej.

Vypočítajte hodnoty #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # a tak ďalej. Najväčšia hodnota je absolútny maixmum na intervale a najmenšia hodnota je absolútne minimum v intervale.

V tejto otázke vypočítame #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # a #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimum je #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # a

maximum je #f (-3) = 10 #.