Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

odpoveď:

#xv (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

vysvetlenie:

Môžeme to urobiť #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # je geometrický rad s pomerom # R = 1 / (x (1-x)) #.

Teraz vieme, že geometrické rady konvergujú, keď je absolútna hodnota pomeru menšia ako 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Musíme teda vyriešiť túto nerovnosť:

# 1 / (x (1-x)) <1 a 1 / (x (1-x))> -1 #

Začnime prvým:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Môžeme ľahko dokázať, že čitateľ je vždy kladný a menovateľ je v intervale neaktívny #xv (-oo, 0) U (1, oo) #.

Takže toto je riešenie pre našu prvú nerovnosť.

Pozrime sa na druhý:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Táto nerovnosť rieši interval:

#xv (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Takže naša séria sa zbieha tam, kde sú intervaly pravdivé.

Náš interval konvergencie je teda:

#xv (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {inf} (cos x) ^ n?

Pozri nižšie. Pomocou polynómnej identity (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) máme pre abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), potom pre x ne k pi, k v ZZ máme súčet_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? A čo je súčet v x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["je interval konvergencie pre x" "x = 3 nie je v intervale konvergencie, takže súčet pre x = 3 je" oo "Spracujte sumu ako by je to geometrická séria nahradením "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Potom máme" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "pre" | z | <1 "Takže interval konvergencie je" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatívne)" "Pozitívny prí

Ako nájdete reprezentáciu silových radov pre (arctan (x)) / (x) a aký je polomer konvergencie?

Integrujte mocninovú radu derivátu arctan (x) a potom delte x. Známe mocninové zastúpenie 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx tak, že absx <1. Takže 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Takže silová séria arctanu (x) je intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) X ^ (2n + 1).Rozdeľujete ho pomocou x, zistíte, že silová séria arctanu (x) / x je sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Povedzme, že u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Aby sme našli polomer konvergencie tejto mocninovej rady, hodnotíme lim_