Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {inf} (cos x) ^ n?

$Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {inf} (cos x) ^ n?$

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Použitie identity polynómu

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

máme pre #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

potom, pre #x ne k pi, kv ZZ # máme

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Ukážte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Som trochu zmätený, ak urobím Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný ako cos (180 ° -theta) = - costheta v druhý kvadrant. Ako mám ísť na preukázanie otázky?

Pozri nižšie. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? A čo je súčet v x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["je interval konvergencie pre x" "x = 3 nie je v intervale konvergencie, takže súčet pre x = 3 je" oo "Spracujte sumu ako by je to geometrická séria nahradením "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Potom máme" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "pre" | z | <1 "Takže interval konvergencie je" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatívne)" "Pozitívny prí

Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Xv (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Môžeme si uvedomiť, že sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n je geometrická séria s pomerom r = 1 / (x (1-x)). Teraz vieme, že geometrická séria konverguje, keď je absolútna hodnota pomeru menšia ako 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Takže musíme túto nerovnosť vyriešiť: 1 / (x (1-x)) <1 a 1 / (x (1-x))> -1 Začnime s prvým: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Môžeme ľahko dokázať, že čitateľ je vždy pozitívny a menovateľ je nulový. interva