Ako nájdete reprezentáciu silových radov pre (arctan (x)) / (x) a aký je polomer konvergencie?

odpoveď:

Integrujte výkonové rady derivátu #arctan (x) # potom rozdeliť #X#.

vysvetlenie:

Vieme, že reprezentácia výkonových radov je # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # takýmto spôsobom #absx <1 #, tak # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Takže moc radu #arctan (x) # je #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Rozdeľte ju #X#, zistíte, že silový rad #arctan (x) / x # je #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #, Povedzme #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Aby sme našli polomer konvergencie tejto výkonovej série, hodnotíme #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #, Takže ak chceme, aby sa mocenské rady zblížili, potrebujeme #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, takže séria bude konvergovať ak #absx <1 #, čo nie je prekvapujúce, pretože je to polomer konvergencie reprezentácie výkonových radov #arctan (x) #.