Ako nájdete oblasť rovnobežníka s vrcholom?

odpoveď:

Pre paralelogram #A B C D# oblasť je

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

vysvetlenie:

Predpokladajme, že náš paralelogram #A B C D# je definovaná súradnicami jej štyroch vrcholov - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

Na určenie plochy nášho paralelogramu potrebujeme dĺžku jeho základne # | AB | # a nadmorská výška # | DH | # z vrcholu # D # ukázať # H # na strane # AB # (to znamená, #DH_ | _AB #).

Po prvé, pre zjednodušenie úlohy, poďme sa presunúť do pozície, keď jeho vrchol # A # sa zhoduje s pôvodom súradníc. Oblasť bude rovnaká, ale výpočty budú jednoduchšie.

Vykonáme teda nasledujúcu transformáciu súradníc:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Potom (# U, V #) súradnice všetkých vrcholov budú:

#A U_A = 0, v_b = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, v_b = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Náš paralelogram je teraz definovaný dvoma vektormi:

# P = (U_B, v_b) # a # Q = (U_D, V_D) #

Určite dĺžku základne # AB # ako dĺžka vektora # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + v_b ^ 2) #

Dĺžka nadmorskej výšky # | DH | # môže byť vyjadrený ako # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Dĺžka # # AD je dĺžka vektora # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

uhol # / _ BAD # možno stanoviť pomocou dvoch výrazov pre skalárny (bodový) produkt vektorov # P # a # Q #:

# (P * q) = U_B * U_D + v_b * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

z ktorých

# Cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + v_b * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + v_b ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + v_b * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + v_b ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) # #

Teraz už poznáme všetky komponenty na výpočet oblasti:

základňa # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + v_b ^ 2) #:

nadmorská výška # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-v_a * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Táto oblasť je ich produktom:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Z hľadiska pôvodných súradníc vyzerá takto:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

odpoveď:

ďalšiu diskusiu

vysvetlenie:

Geometrický dôkaz

Vzhľadom na obrázok

môžeme ľahko stanoviť vzorec pre výpočet plochy rovnobežníka ABCD, keď sú známe všetky tri vrcholy (povedzme A, B, D).

Keďže diagonálna BD rozdeľuje rovnobežník do dvoch zhodných trojuholníkov.

Oblasť rovnobežníka ABCD

= 2 oblasť trojuholníka ABD

= 2 oblasť lichobežníka BAPQ + plocha pasce BQRD - oblasť pasce DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + zrušiť (Y_BX_B) -skenovať (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + zrušiť (Y_DX_D) - zrušiť (Y_BX_B) -Y_AX_D-zrušiť (Y_DX_D) + zrušiť (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Tento vzorec udáva plochu rovnobežníka.

Dôkaz o zvažovaní vektora

Môže sa tiež stanoviť s ohľadom na #vec (AB) # a# vec (AD) #

teraz

Pozičný vektor bodu A w.r, t pôvod O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Pozičný vektor bodu B w.r, t pôvod O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Pozičný vektor bodu D w.r, t pôvod O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

teraz

Oblasť Parallelogramu ABCD

# = Base (AD) * Height (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

znovu

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) Hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) Hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Plocha = # | Vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + zrušiť (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-zrušiť (Y_AX_A) |

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Máme teda rovnaký vzorec