Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Mohli by ste to vyriešiť?

odpoveď:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

vysvetlenie:

Máme:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

nechať #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Vidíme to #u = -1 # je faktor. Pomocou syntetického delenia dostaneme

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Rovnica # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # možno vyriešiť pomocou kvadratického vzorca.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 alebo -0.309 #

od tej doby #cosx = u #, dostaneme #x = pi / 5, (3pi) / 5 # a # # Pi.

Kde # N # je celé číslo.

Graf # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # a # y_2 = cos (3x) # potvrdzuje, že riešenia sú priesečníkmi.

Dúfajme, že to pomôže!

odpoveď:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

vysvetlenie:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, alebo

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Kruh jednotky a vlastnosť cos, dať ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2 kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Ak k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Ak k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Ak k = 0 -> #x = - pi / 5 #, alebo #x = (9pi) / 5 # (Ko-terminálny)

Ak k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

V uzavretom intervale 0, 2pi sú odpovede:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Skontrolujte pomocou kalkulačky.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #, ukázalo

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #, ukázalo

odpoveď:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # # NrarrZ

vysvetlenie:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2 x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# Rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

buď #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # # NrarrZ

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # # Nrarr

odpoveď:

Všeobecné riešenie nevyžaduje trojitý vzorec a je

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # alebo # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

pre celé číslo # K #.

vysvetlenie:

Nemám rád čítanie odpovedí iných ľudí predtým, než vyriešim otázku sám. Ale odpoveď na túto sa objavila. Počas môjho rýchleho pohľadu som si nevšimol, že to vyzeralo dosť komplikovane, čo sa mi zdá ako relatívne jednoduchá otázka. Dám to zastreliť.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Bol som na Socratic na pár týždňov, a to sa objavuje ako moja téma: Všeobecné riešenie #cos x = cos a # je # a = 360 ^ circ k quad # pre celé číslo # K. #

# 180 ^ circ - 2x = 3x 3x 360 ° cirk k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Značky berieme samostatne. Najprv:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Ďalej mínus.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Ak si tieto pozorne prečítate, môžete si myslieť, že robím chybu spôsobom, akým manipulujem # K #, Ale pretože # K # sa pohybuje nad všetkými celými číslami #k to -k # a #k to k + 1 # sú povolené a ja som tie skĺznuť do držať značky #+# keď môžu byť.

kontrola:

Pozrime sa na pár. Som dosť podivný, aby som to vedel #cos 36 ^ circ # je polovica Golden Ratio, ale nebudem pracovať presne na to, len pop do Wolfram Alpha, aby sa ubezpečil.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 štvorcový sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #