Ako zistíte tretí stupeň Taylorovho polynómu pre f (x) = ln x, stred a = 2?

odpoveď:

#ln (2) +1/2 (X-2) -1/8 (X-2) ^ 2 + 1/24 (X-2) ^ 3 #.

vysvetlenie:

Všeobecná forma expanzie Taylora sa sústredila na # A # analytickej funkcie # F # je # F (x) = sum_ {n = 0} ^ uf ^ ((n)), (a) / (n!) (X-a) ^ n #, Tu # F ^ ((n)) # je n-tá derivácia # F #.

Tretí stupeň Taylorovho polynómu je polynom pozostávajúci z prvých štyroch (# N # v rozmedzí od #0# na #3#) podmienky úplnej expanzie Taylora.

Preto je tento polynóm # F (a) + f '(a) (X-a) + (f' '(a)) / 2 (X-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (X-a) ^ 3 #.

# F (x) = ln (x) #, preto # F '(x) = 1 / x #, # F '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, # F '' '(x) = 2 / x ^ 3 #, Tretí stupeň Taylorovho polynómu je:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (X-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (X-a) ^ 3 #.

Teraz máme # A = 2 #, takže máme polynóm:

#ln (2) +1/2 (X-2) -1/8 (X-2) ^ 2 + 1/24 (X-2) ^ 3 #.