Ako zistíte presnú hodnotu cos58 pomocou súčtu a rozdielu, dvojitého uhla alebo polovičného uhla?

odpoveď:

Je to presne jeden z koreňov #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # kde #T_n (x) # je # N #th Chebyševov polynóm prvého druhu. To je jeden zo štyridsiatich šiestich koreňov:

Č. + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 378817251702953984 x ^ 38 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30-20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26-4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18-14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

vysvetlenie:

# 58 ^ okruh # nie je násobkom # 3 ^ okruh #, Viacnásobné # 1 ^ okruh # ktoré nie sú násobkami # 3 ^ okruh # nie sú konštruovateľné s narovnaním a kompasom a ich funkcie trig nie sú výsledkom nejakého zloženia celých čísel sčítaním, odčítaním, násobením, delením a štvorcovým zakorenením.

To neznamená, že nemôžeme zapísať nejaký výraz #cos 58 ^ circ #, Zoberme si stupeň znamenia znamenať faktor # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i t

#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i hi 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

Nie je to užitočné.

Môžeme sa pokúsiť zapísať polynomiálnu rovnicu, ktorej jedným z koreňov je #cos 58 ^ circ # ale je to pravdepodobne príliš veľké, aby sa zmestili.

# Theta = 2 ^ okruh # je #180#t kruhu. od tej doby #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # to znamená #cos 2 ^ circ # spĺňa

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #

Poďme to vyriešiť # # Theta najprv. #cos x = cos a # má korene # x = pm a + 360 ^ circ k, # celé číslo # K #.

# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k alebo theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

To je veľa koreňov a vidíme # Theta = 58 ^ okruh # medzi nimi.

Polynómy #T_n (x) #, nazývaný Chebyshev polynómy prvého druhu, uspokojiť #cos (n theta) = T_n (cos theta) #, Majú celočíselné koeficienty. Prvých pár poznáme z dvojitého a trojitého vzoru:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # tak# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad quad # tak# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # tak # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos quad quad quad # tak # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

Je tu pekný vzťah rekurzie, ktorý môžeme overiť:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

Teoreticky ich môžeme generovať tak veľké # N # ako sa staráme.

Ak necháme # x = cos theta, # naša rovnica

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

stáva

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram Alpha nám rád povie, čo to je. Napíšem rovnicu, aby som otestoval vykresľovanie matematiky:

Č. + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 378817251702953984 x ^ 38 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30-20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26-4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18-14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Áno, táto odpoveď je dlhá, vďaka Socratic. Jeden z koreňov tohto polynómu 46. stupňa s celočíselnými koeficientmi je Anway # 58 58 circ #.