odpoveď:
Už tu odpovedali.
vysvetlenie:
Najprv musíte nájsť # Sin18 ^ @ #, pre ktoré sú k dispozícii podrobnosti.
Potom sa môžete dostať # Cos36 ^ @ # ako je tu uvedené.
odpoveď:
Riešime #cos (2 theta) = cos (3 theta) # alebo # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # pre # x = cos 144 ^ circ # a dostať #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
vysvetlenie:
Dostaneme #cos 36 ^ circ # nepriamo nepriamo z dvojitého a trojitého vzoru pre kosínus. Je to celkom v pohode, ako sa to robí, a má prekvapivý koniec.
Zameriame sa na #cos 72 ^ circ #, Uhol # Theta = 72 ^ okruh # spĺňa
#cos (2 theta) = cos (3 theta).
Poďme to vyriešiť # # Theta, pripomínajúc #cos x = cos a # má riešenia #x = pm a + 360 ^ circ k.
# 2 theta = 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # alebo # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
To zahŕňa # 360 ^ circ k # takže môžeme upustiť časť "alebo".
Nepíšem tu záhadu (napriek prekvapivému koncu), takže to spomeniem #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # je tiež platným riešením a vidíme, ako to súvisí s otázkou.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Teraz nech # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Vieme # x = cos (0 krát 72 ^ circ) = 1 # je riešenie # (X-1) # je faktor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Kvadratické má korene
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Pozitívny musí byť #cos 72 ^ circ # a negatívne #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
To je odpoveď. Prekvapenie je, že polovica Golden Ratio!
