Ako napíšete čiastočný rozklad zlomku racionálneho výrazu (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

odpoveď:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

vysvetlenie:

Ak chcete napísať daný výraz do čiastkových zlomkov, myslíme na faktorizáciu menovateľa.

Rozdeľme menovateľa

#COLOR (modro) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Farba (modrá) (x ^ 2 (x-2) - (X-2)) #

# = Farba (modrá) ((x-2), (x ^ 2-1)) #

Použitie identity polynómov:

#COLOR (oranžová) (A ^ 2-b ^ 2 = (A-B) (A + B)) #

máme:

#COLOR (modro) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Farba (modrá) ((x-2), (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Farba (modrá) ((x-2), (x-1), (x + 1)) #

Rozložme racionálny výraz nájdením # A, B a C #

#COLOR (hnedá) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = farby (zelená) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x 2)) #

#COLOR (hnedá) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Farba (hnedá) ((A (x-1), (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2), (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2), (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2x-2x 2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-BX-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2), (x-1), (x + 1) #

# = Farba (hnedá) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2), (x-1), (x + 1)) #

# = Farba (hnedá) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2), (x-1), (x + 1)) = farby (zelená) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Potom

#rArrcolor (hnedá) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = farby (zelená) (3 x) #

Máme systém troch rovníc s tromi neznámymi # A, B a C #

# A + B + C = 0 # EQ1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

Začať riešiť systém

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (červená) (B = -3-3C) #

dosadením # B # v eq1 máme:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (červená) (A = 3 + 2C) #

dosadením #B a C #v eq3 máme:

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (farba (červená) (3 + 2C)) - 2 (farba (červená) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# Rarr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# Rarr + 3 + 6 C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (červená) (C = -1/2) #

#COLOR (červená) (B = -3-3C) = - 3-3color (červená) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#COLOR (červená) (B = -3/2 #

#COLOR (červená) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#COLOR (červená) (A = 2) #

Nahraďte hodnoty:

#COLOR (zelená) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = farba (hnedá) (farba (červená) 2 / (x-2) + (farba (červená) (- 3 / 2)) / (x-1) + farba (červená) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Z tohto dôvodu

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #