Aký je polčas rozpadu (Na ^ 24), ak výskumný asistent vyrobil 160 mg rádioaktívneho sodíka (Na ^ 24) a zistil, že o 45 hodín neskôr ostalo len 20 mg?

odpoveď:

#color (modrá) ("Polčas je 15 hodín.") #

vysvetlenie:

Musíme nájsť rovnicu formulára:

#A (t) = A (0) e ^ (Kt) #

Kde:

#bb (A (t)) = # množstvo po čase t.

#bb (A (0) = # na začiatku. t = 0.

# BBK = # faktor rastu / rozpadu.

# BBE = # Eulerovo číslo.

# BBT = # čas, v tomto prípade hodiny.

Dostali sme:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Musíme to vyriešiť # BBK #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Rozdeliť číslom 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Prirodzené logaritmy oboch strán:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Z toho dôvodu:

#ln (1/8) = 45k #

Rozdelenie na 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8), ^ (t / 45) #

Vzhľadom na to, že polčas je čas, keď máme polovicu východiskovej sumy:

#A (t) = 80 #

Takže musíme riešiť:

# 80 = 160 * (1/8), ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8), ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8), ^ (t / 45) #

Prirodzené logaritmy:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Polčas rozpadu je 15 hodín.

odpoveď:

15 hodín

vysvetlenie:

• Rýchly spôsob

Ako množstvo rozkladajúcej sa látky klesne na polovicu každý polčas (odtiaľ názov), polovičná suma v krokoch vyžaduje 3 kroky na získanie zo 160 na 20:

• # 160 až 80 až 40 až 20 #

a #45 = 3 * 15#

Takže polčas je 15 rokov.

• Formálnejším spôsobom

Pre polčas rozpadu # Tau #, kde # X (t) # je množstvo (hmotnosť / počet častíc / atď.) zostávajúce v čase t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

takže:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Zapojenie hodnôt, ktoré sú uvedené #námestie#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 implikuje tau = 15 #