Ako riešite nerovnosť 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

odpoveď:

#x <- 5/2 farba (biela) (xx) # alebo #color (biela) (xx) -1 <x <2 #

vysvetlenie:

Po prvé, všimnite si, že vaša nerovnosť je definovaná len vtedy, ak sa vaši menovatelia nerovnajú nule:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Ďalším krokom by bolo „zbaviť sa“ zlomkov. To sa dá urobiť, ak znásobíte obe strany nerovnosti # X + 1 # a # X-2 #.

Musíte však byť opatrní, pretože ak vynásobíte nerovnosť záporným číslom, musíte prevrátiť znamienko nerovnosti.

=========================================

Pozrime sa na rôzne prípady:

prípad 1: #color (biela) (xxx) x> 2 #:

oba #x + 1> 0 # a #x - 2> 0 # držať. Dostanete teda:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… výpočet # # -3x a #+2# na oboch stranách…

# -2x> 5 #

… rozdeliť podľa #-2# na oboch stranách. ako #-2# je záporné číslo, musíte preklopiť znak nerovnosti …

#x <- 5/2 #

Nie je však #X# ktorý spĺňa obe podmienky #x> 2 # a #x <- 5/2 #, V tomto prípade teda neexistuje žiadne riešenie.

=========================================

prípad 2: #color (biela) (xxx) -1 <x <2 #:

Tu, #x + 1> 0 # ale #x - 2 <0 #, Preto musíte raz podpísať znak nerovnosti a dostanete:

#color (biela) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (biela) (x) -2x <5 #

… rozdeliť podľa #-2# a znova preklopte znak nerovnosti …

#color (biela) (xxx) x> -5 / 2 #

Nerovnosť #x> -5 / 2 # platí pre všetkých #X# v intervale # -1 <x <2 #, Takže v tomto prípade máme riešenie # -1 <x <2 #.

=========================================

prípad 3: #color (biela) (xxx) x <-1 #:

Obaja menovatelia sú záporní. Ak teda znásobíte nerovnosť s oboma z nich, musíte dvakrát preklopiť znamienko nerovnosti a dostanete:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (biela) (i) -2x> 5 #

#color (biela) (xxi) x <- 5/2 #

Ako podmienka #x <-5 / 2 # je reštriktívnejšia ako podmienka #x <-1 #, riešenie pre tento prípad je #x <- 5/2 #.

=========================================

Celkovo je riešenie

#x <- 5/2 farba (biela) (xx) # alebo #color (biela) (xx) -1 <x <2 #

alebo, ak dávate prednosť inému zápisu,

#x in (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

odpoveď:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

vysvetlenie:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

nechať prejsť everithing na ľavej strane nerovnosti odpočítaním # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Teraz musíme, dať všetky nerovnosti sme ten istý menovateľ. Časť s (x + 1) násobíme # (X-2) / (x-2) # (čo je 1!) a naopak:

# (X-2) / ((x + 1) (X-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (X-2))> 0 #

Urobili sme trik predtým, aby sme mali všetky nerovnosti s tým istým menovateľom:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (X-2))> 0 #.

# (X + 1) (X-2) # zodpovedá parabole, ktorá dáva pozitívne hodnoty v inetervale # -oo, -1 uu 2, + oo # a záporné hodnoty v intervale #-1, 2#, Zapamätajte si, že x nemôže byť -1 alebo 2 kvôli nulovému menovateľovi.

V prvom prípade (pozitívny menovateľ) môžeme zjednodušiť nerovnosť na:

# -2x-5> 0 # a #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

ktorý dáva:

#X <-5/2 # a #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Zachytávanie intervalov uvedených vyššie dáva #X <-5/2 #.

V druhom prípade je menovateľ záporný, takže pre výsledok s kladným číslom musí byť čitateľ záporný:

# -2x-5 <0 # a # x in -1, 2 #

ktorý dáva

#X> -5/2 #, a # x in -1, 2 #

Zachytávanie intervalov dáva # x in -1, 2 #

Spojením riešení dvoch prípadov získame:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #