Aká je rovnica dotyčnice f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 pri x = 5?

Rovnica priamky dotyčnice má tvar:

# Y = farba (oranžová) (a) x + farby (fialová) (b) #

kde # A # je sklon tejto priamky.

Ak chcete nájsť sklon tejto dotyčnej čiary # F (x) # v bode # X = 5 # mali by sme rozlišovať # F (x) #

# F (x) # je kvocientová funkcia formulára # (U (x)) / (D (x)) #

kde #U (x) = x-3 # a #V (x) = (x-4) ^ 2 #

#COLOR (modrá), (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(X) u (x)) / (D (x)) ^ 2) #

#u '(x) = X'-3' #

#COLOR (červená) (u '(x) = 1) #

#V (x) # je zložená funkcia, takže musíme použiť pravidlo reťazca

nechať #G (x) = x ^ 2 # a #H (x) = x-4 #

#V (x) = G (H (x)) #

#COLOR (červená) (v '(x) = G' (h (x)) * h '(x)) #

#G '(x) = 2x # potom

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

# H '(x) = 1 #

#COLOR (červená) (v '(x) = G' (h (x)) * h '(x)) #

#COLOR (červená) (v '(x) = 2 (X-4) #

#COLOR (modrá), (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(X) u (x)) / (D (x)) ^ 2) #

# F '(x) = (1 * (X-4) ^ 2-2 (X-4), (x-3)) / ((x-4), ^ 2) ^ 2 #

# F '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (X-4), (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

# F '(x) = ((x-4), (x-4-2 (X-3))) / (x-4) ^ 4 #

# F '(x) = ((x-4), (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

# F '(x) = ((x-4), (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

zjednodušenie spoločného faktora # X-4 # medzi čitateľom a menovateľom

#COLOR (modrá), (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Pretože dotyčnica prechádza bodom # X = 5 # tak môžeme nájsť hodnotu svahu # A # striedaním # X = 5 # v # f '(x) #

#COLOR (oranžová) (a = f '(5)) #

#A = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#COLOR (oranžová) (a = -3) #

Vzhľadom k osi x bodu dotyku #COLOR (hnedá) (x = 5) # lets

nájde svoju os # Y = f (5) #

#COLOR (hnedá) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# R = 2/1 #

#COLOR (hnedá) (y = 2) #

So súradnicami bodu dotyku #COLOR (hnedá) ((5, 2)) # a svahu #COLOR (oranžová) (a = -3) # nájde #COLOR (fialová) (b) #

umožňuje nahradiť všetky známe hodnoty v rovnici dotyčnice a nájsť hodnotu #COLOR (fialová) (b) #

#COLOR (hnedá) (y) = farba (oranžová) (a) farba (hnedá) (x) + farby (fialová) (b) #

# 2 = -3 (5) + farby (fialová) (b) #

# 2 = -15 + farby (fialová (b) #

# 17 = farby (fialová) (b) #

preto rovnica dotyčnice v bode #COLOR (hnedá) ((5, 2)) # je:

# Y = -3x + 17 #