Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? A čo je súčet v x = 3?

$Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? A čo je súčet v x = 3?$

odpoveď:

# - oo, -4 "U" 5, oo "je interval konvergencie pre x" #

# "x = 3 nie je v intervale konvergencie, takže súčet pre x = 3 je" oo #

vysvetlenie:

# "Zaobchádzajte so sumou ako s geometrickým radom nahradením" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Potom máme" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "pre" | z | <1 #

# "Takže interval konvergencie je" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ALEBO" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatívne)" #

# "Pozitívny prípad:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 a x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negatívny prípad:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 a x <5 #

# => x <-4 #

# "Druhá časť:" x = 3 => z = 2> 1 => "suma je" oo #

Poznajúc vzorec k súčtu N celých čísel a) čo je súčet prvých N po sebe idúcich štvorcových celých čísel, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Súčet prvých N po sebe idúcich celých čísel kocky Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Pre S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Máme sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 riešenie pre sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ale sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 so sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3- (n

Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {inf} (cos x) ^ n?

Pozri nižšie. Pomocou polynómnej identity (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) máme pre abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), potom pre x ne k pi, k v ZZ máme súčet_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Aký je interval konvergencie sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Xv (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Môžeme si uvedomiť, že sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n je geometrická séria s pomerom r = 1 / (x (1-x)). Teraz vieme, že geometrická séria konverguje, keď je absolútna hodnota pomeru menšia ako 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Takže musíme túto nerovnosť vyriešiť: 1 / (x (1-x)) <1 a 1 / (x (1-x))> -1 Začnime s prvým: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Môžeme ľahko dokázať, že čitateľ je vždy pozitívny a menovateľ je nulový. interva