Aká je dĺžka arcleng (t-3, t + 4) na t v [2,4]?

odpoveď:

# A = 2sqrt2 #

vysvetlenie:

Vzorec pre parametrickú dĺžku oblúka je:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) t

Začneme hľadaním týchto dvoch derivátov:

# Dx / dt = 1 # a # Dy / dt = 1 #

To znamená, že dĺžka oblúka je:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) d = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

Pretože parametrická funkcia je tak jednoduchá (je to priamka), nepotrebujeme ani integrálny vzorec. Ak vykreslíme funkciu v grafe, môžeme použiť len vzorec regulárnej vzdialenosti:

# A = sqrt ((x 1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

To nám dáva rovnaký výsledok ako integrál, čo ukazuje, že jedna metóda funguje, aj keď v tomto prípade by som odporučil grafickú metódu, pretože je jednoduchšia.