Tri tyče, každá s hmotnosťou M a dĺžkou L, sú spojené dohromady, aby vytvorili rovnostranný trojuholník. Aký je moment zotrvačnosti systému okolo osi prechádzajúcej cez jej ťažisko a kolmý na rovinu trojuholníka?

odpoveď:

# 1/2 ML ^ 2 #

vysvetlenie:

Moment zotrvačnosti jednej tyče okolo osi prechádzajúcej jej stredom a kolmý na ňu

# 1/12 ML ^ 2 #

To každej strany rovnostranného trojuholníka okolo osi prechádzajúcej stredom trojuholníka a kolmo na jeho rovinu je

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(veta o rovnobežnej osi).

Moment zotrvačnosti trojuholníka okolo tejto osi je potom

# 3 x 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Za predpokladu, že tyče budú tenké, je poloha ťažiska každej tyče v strede tyče. Keďže tyče tvoria rovnostranný trojuholník, stred hmotnosti systému bude v ťažisku trojuholníka.

nechať # D # vzdialenosť od ťažiska zo všetkých strán.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = l / (2sqrt3) # …..(1)

Moment zotrvačnosti jednej tyče okolo osi prechádzajúcej ťažiskom kolmým na rovinu trojuholníka s použitím paralelnej osi

#I_ "tyč" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Existujú tri podobne umiestnené tyče, teda celkový moment zotrvačnosti troch tyčí

#I_ "systém" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "systém" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Druhým termínom je (1)

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Ako moment zotrvačnosti jednej tyče okolo jej stredu hmotnosti je

#I_ "cm" = 1/12 ml ^ 2 #

Prvý termín v (2) sa stáva

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12 ml ^ 2 = 1/4 ml ^ 2 # ….(4)

Použitím (3) a (4) sa stáva rovnica (2)

#I_ "system" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 t