Aké sú extrémy f (x) = 3x-1 / sinx na [pi / 2, (3pi) / 4]?

odpoveď:

Absolútne minimum v doméne sa vyskytuje pri cca. # (pi / 2, 3.7124) #a absolútna max na doméne sa vyskytuje pri cca. # (3pi / 4, 5.6544) #, Neexistujú žiadne lokálne extrémy.

vysvetlenie:

Skôr ako začneme, je potrebné, aby sme analyzovali a zistili, či #sin x # má hodnotu #0# v ktoromkoľvek bode intervalu. #sin x # je nula pre všetky tieto x #x = npi #. # Pi / 2 # a # 3pi / 4 # sú obe menšie ako # # Pi a väčšie ako # 0pi = 0 #; takto, #sin x # tu neberie hodnotu nula.

Aby sme to mohli určiť, pripomeňme, že extrém sa vyskytuje buď tam, kde #f '(x) = 0 # (kritické body) alebo v jednom z koncových bodov. V tomto zmysle berieme deriváciu vyššie uvedeného f (x) a nájdeme body, kde sa tento derivát rovná 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Ako by sme mali vyriešiť tento posledný termín?

Zoberme si stručne recipročné pravidlo, ktorá bola vyvinutá na riešenie situácií, ako je náš posledný termín, # d / (dx) (1 / sin x) #, Vzájomné pravidlo nám umožňuje obísť priamo pomocou pravidla reťazca alebo kvocientu uvedením, že daná funkcia je diferencovateľná #G (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

kedy #g (x)! = 0 #

Keď sme sa vrátili k našej hlavnej rovnici, skončili sme s;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

od tej doby #sin (x) # je diferencovateľné, môžeme tu uplatniť recipročné pravidlo:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Nastavením na hodnotu 0 sa dostaneme na:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

K tomu môže dôjsť len vtedy, keď #cos x / sin ^ 2 x = -3., Odtiaľto môžeme použiť jednu z trigonometrických definícií, konkrétne # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

To sa podobá polynómu, s #cos x # nahradenie nášho tradičného x. Vyhlasujeme teda #cos x = u # a …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #, Pomocou kvadratického vzorca tu …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9)) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Naše korene sa vyskytujú na #u = (1 + -sqrt37) / 6 # podľa tohto. Jeden z týchto koreňov (# (1 + sqrt37) / 6 #) nemôže byť root #cos x # pretože koreň je väčší ako 1 a # -1 <= cosx <= 1 # pre všetky x. Náš druhý koreň na druhej strane vypočítava ako približne #-.847127#, Toto je však menšie ako minimálna hodnota #cos x # funkcia môže na intervale (od #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #, To znamená, v doméne nie je kritický bod.

V tejto súvislosti sa musíme vrátiť k našim koncovým bodom a dať ich do pôvodnej funkcie. Ak tak urobíme, dostaneme #f (pi / 2) cca 3.7124, f (3pi / 4) cca 5.6544 #

Naše absolútne minimum v doméne je teda približne # (pi / 2, 3.7124), # a naše maximum je približne # (3pi / 4, 5.6544) #