Čo je logaritmus záporného čísla?

Logaritmy záporných čísel nie sú v reálnych číslach definované rovnakým spôsobom, že štvorcové korene záporných čísel nie sú v reálnych číslach definované. Ak sa očakáva, že nájdete záporné číslo, vo väčšine prípadov postačuje odpoveď „nedefinované“.

to je možné vyhodnotiť, odpoveď však bude zložité číslo. (číslo formulára) #a + bi #, kde #i = sqrt (-1) #)

Ak ste oboznámení s komplexnými číslami a cítite sa, že s nimi pracujete, čítajte ďalej.

Po prvé, začnime všeobecným prípadom:

#log_b (-x) =? #

Použijeme pravidlo zmeny základne a prevedieme sa na prirodzené logaritmy, aby sme to uľahčili neskôr:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Poznač si to #ln (-x) # je to isté ako #ln (-1 * x) #, Môžeme využiť vlastnosti pridania logaritmov a oddeliť túto časť do dvoch samostatných protokolov:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Teraz jediným problémom je zistiť, čo #ln (-1) # je. Na prvý pohľad to môže vyzerať ako nemožná vec, ale je tu celkom známa rovnica známa ako Eulerova Identita, ktorá nám môže pomôcť.

Eulerova identita uvádza:

# e ^ (ipi) = -1 #

Tento výsledok pochádza z rozšírení silových sínusových a kosínusových rozšírení. (Nebudem to vysvetľovať príliš hlboko, ale ak máte záujem, je tu pekná stránka, ktorá vysvetľuje trochu viac)

Pre túto chvíľu si jednoducho vezmeme prirodzený log oboch strán Eulerovej identity:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

zjednodušený:

#ipi = ln (-1) #

Takže teraz, keď vieme čo #ln (-1) # je, môžeme nahradiť späť do našej rovnice:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Teraz máte vzorec na nájdenie logov záporných čísel. Takže ak chceme niečo hodnotiť # log_2 10 #, môžeme jednoducho pripojiť niekoľko hodnôt:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #