Aký je rozsah kvadratickej funkcie?

odpoveď:

Rozsah #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # je:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "ak" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "ak" a <0):} #

vysvetlenie:

Vzhľadom na kvadratickú funkciu:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # s #a! = 0 #

Námestie môžeme dokončiť a nájsť:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Pre skutočné hodnoty #X# štvorcový výraz # (X + b / (2a)) ^ 2 # je nezáporná, pričom berie svoju minimálnu hodnotu #0# kedy #x = -b / (2a) #.

potom:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

ak #a> 0 # potom je to minimálna možná hodnota # F (x) # a rozsah # F (x) # je # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

ak #a <0 # potom je to maximálna možná hodnota # F (x) # a rozsah # F (x) # je # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Ďalší spôsob, ako sa na to pozerať, je nechať #y = f (x) # a zistite, či existuje riešenie #X# z hľadiska # Y #.

Vzhľadom na to:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

odčítať # Y # z oboch strán nájsť:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminačný # Delta # tejto kvadratickej rovnice je:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4 dni #

Aby sme mali reálne riešenia, potrebujeme #Delta> = 0 # a tak:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

pridať # 4 Ac-b ^ 2 # na oboch stranách nájsť:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

ak #a> 0 # potom môžeme jednoducho rozdeliť obe strany # # 4a získať:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

ak #a <0 # potom môžeme rozdeliť obe strany # # 4a a zvrátiť nerovnosť, aby ste získali:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #